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1、第一节 不定积分的概念及其线性法则,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的线性运算法则,四、直接积分法,引例 设曲线通过点 (1 , 2) , 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 , 求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1 , 2) ,所求曲线方程为,定义：,一、原函数与不定积分的概念 1.原函数,设 f (x) 在区间 I 内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个 xI 有,F(x)= f(x),或 dF(x) = f (x)dx ，,则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 内的一个原函数 .,例,关于原函数有以下三个问题：,1)
2、f(x) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？,2) 若 f(x) 有原函数 , 其原函数有多少个？,3) f (x) 的全体原函数如何表示?,原函数存在定理,若 f(x) 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 f(x) 的原函数.,简言之：连续函数一定有原函数.,若 f (x)有原函数 ,则 f (x) 的原函数有无穷多个.,若 F(x) 是f (x)的一个原函数 ,则 f (x)的全体原函数可表示为 F (x) +C. (C为任意常数),2. 不定积分的定义：,若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数 ,则 f (x) 在区间 I 内的全体原函数称为 f (x)
3、 在区间 I 内的不定积分,例1 求,例2 求,3. 不定积分的几何意义,不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标相同的点处每条曲线上的切线斜率相等都为f (x) , 即在横坐标相同的点处各切线相互平行.,y=F(x) 为平面上的 一条曲线.,y=F(x)+C 为平面上的 一族曲线.,设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数 , 则,函数 f (x) 的原函数的图形称为积分曲线.,结论：,求不定积分的运算与微分运算是互逆的.,4.不定积分与微分(导数)的关系,由此根据微分公式可得积分公式.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得
4、出积分公式.,二、 基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,例3 求积分,解,根据积分公式（2）,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的线性运算法则,例4 求积分,解,四、直接积分法,直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积分公式 ,可以计算简单函数的不定积分.,解,解,解,4. 求积分,解,5. 求积分,解,6. 求积分,解,7. 求积分,解,8. 求积分,解,9. 求积分,解,解,说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形才能使用基本积分表.,在求 f (x) 的所有原函数中,有时需要确定一个满足条件 y (x0 ) = y0 的积分曲线 .即
5、求通过点(x0 , y0)的积分曲线 .这个条件一般称为初始条件,它可以唯一确定积分常数 C 的值.,例5,解,故所求曲线方程为,例6,解,例7,解,注意:,1) 导数是唯一的 , 但原函数不唯一.,2) 任一初等函数都可求导数 , 且导数一般也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示 .,这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函数来表示 .,基本积分表,不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分是互逆关系,四、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,
