《《矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明》教案1（冀教版九年级上）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明》教案1（冀教版九年级上）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理1：矩形的四个角都是直角说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直定理2：矩形的对角线相等说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半说明：与中位线定理及在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系2、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形定理2：有三个角是直角的四边形是矩形3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性
2、质(2)利用该特性可以证明线段相等定理2：菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理4、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理2：四条边都相等的四边形是菱形说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都
3、是直角；(3)对角线：相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角说明：正方形这些性质根据定义可直接得出特殊性质正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等；先证它是菱形，再证有一个角为直角(2)判定正方形的一般顺序；先证明是平行四边形；再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件二、重难点知识归纳1、特殊的
4、平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1、如图所示，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形PMQN为矩形错解：连接MN四边形ABCD是平行四边形，ADBC又M，N分别为AD，BC的中点，AMBN四边形AMNB是平行四边形又AB=AD，AB=AM，口AMNB是菱形ANBM，MPN=90同理MQN=90，四边形PMQN为矩形分析：错在由MPN=MQN=90，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PMQN是平行四边形，证四边形PMQN是平行四边形这种方法比较好正解：连接MN，四边形ABCD是平行四边形，ADBC又DM=AD，BN=BC(
5、线段中点定义)，四边形BNDM为平行四边形BMDN，同理ANMC四边形PMQN是平行四边形AMBN，四边形ABNM是平行四边形又AD=2AB，AD=2AM，AB=AM，四边形ABNM是菱形ANBM，即MPN=90，四边形PMQN是矩形例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形PQEF为正方形，先证它为菱形，再证有
6、一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即APCE，四边形APCE为平行四边形，易知PE与AC平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PEAB，此时PE=BC解：(1)四边形PQEF为正方形，证明如下：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，BP=QC=ED=FA又BAD=B=BCD=D=90，AFPBPQCQEDEFFP=PQ=QE=EF，APF=PQB，FPQ=90四边形PQEF为正方形(2)连接AC交PE于点OAPEC，四边形APCE
7、为平行四边形又O为对角线AC的中点，对角线PE总过AC的中点(3)当P运动至与B重合时，四边形PQEF面积最大，等于原正方形面积，当PEAB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题例3、如图所示，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DEBC于D，交AB于E，CF/AB，交直线DE于F，设CD=x(1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由；(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用
8、，有一定的探究性解：(1)ACB=90ACBC又DEBC，EF/ACAE/CF，四边形EACF是平行四边形当CF=AC时，四边形ACFE是菱形此时CF=AC=2，BD=3x，tan B=，ED=BDtan B=(3x)DF=EFED=2(3x)=x在RtCDF中，CD2DF2=CF2，x2(x)2=22，(负值不合题意，舍去)即当时，四边形ACFE是菱形(2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点(1)求证四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高
9、和底边BC的数量关系，并证明你的结论分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等当四边形MENF是正方形时，则有NEMB，NFMC，所以需连接MN(梯形的高)进行探究证明：(1)四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，A=DM为AD中点，AM=DM，ABMDCM，BM=CME，F，N分别为MB，MC，BC的中点，EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，EN=FN=MF=ME，四边形ENFM是菱形解：(2)结论：等腰梯形ABCD的高等于底边BC的一半理由如下：连接MN，BM=CMBN=CN，MNBCAD/BC，MNAD，即MN为梯形ABCD的高，又四边形MENF是正
10、方形，BMC为等腰直角三角形，N为BC中点，MN=BC小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段例5、如图所示，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分DCB，ABAC，P为MN上的一个动点若AD=3，则PDPC的最小值为_分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称所以连接BD，交MN于点P，则PCPD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)因为AC平分DCB，且AD/BC，所以AD=DC=AB=3，易知ACB=DCB=30又BAC=90，所以BC=2AB=6，因此答案：例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论从而否定原来的假设如图所示，已知梯形ABCD，AD/BC求证：A，B，C，D中不能有三个角是钝角证明：假设A，B，C，D中有三个角是钝角，不妨设A90，B90，C90AB180，BC180，AC180又ADBC，AB=180“AB180”与“AB=180”矛盾AB180不成立，即假设A90，B90不成立梯形中不能有三个角是钝角
