期证券市场的基本模型和线性定价法则(货币金融学)

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1、第二讲 二期证券市场的基本模型 和线性定价法则,金融经济学第二讲,2,从期权定价问题讲起,从我们上次最后提出的“期权定价问题”的解法上我们可看出“数学公理化方法”的一般步骤：1。提出模型 (二期、二状态、二证券模型)；2。提出所依据的“公理”的具体形式 (线性定价法则等)；3。根据“公理”，提出问题，求解。 所求得的解答当然取决于“模型”和“公理”两方面。,金融经济学第二讲,3,“模型”与“公理”,“模型”的提出取决于工具。工具并非越艰深越好，而应该以能否回答问题、解决问题为原则。 “公理”的提出取决于理念。在我们的讨论中，理念就是“套利定价论”。 两者常常是同时考虑的。有时甚至很难严格区分。

2、,金融经济学第二讲,4,“均衡定价论”的资产定价,上述“期权定价”是一种“相对定价”的方法。其中没有涉及任何经济活动者的市场行为。 考虑“经济者行为”的是“均衡定价论”。这是一种“绝对定价”的方法。(见讲义中的例子) 这些“定价理论”都不考虑信息的作用。,金融经济学第二讲,5,金融资产定价问题,金融经济学的基本问题是在不确定市场环境下对金融资产定价。 这大致可表达为这样的一个问题：已经知道一种金融资产在未来各种可能的价值，要问它当前的价值是多少。 前面讨论过的“期权定价问题”就是这样的问题。,金融经济学第二讲,6,二期资产定价模型,金融经济学第二讲,7,经济学使高维空间普及化,G. Debre

3、u (1921-2004), 1983 年诺贝尔经济奖获得者,“商品空间有实向量空间结构这一事实是经济学数学化成功的基本原因。” G. Debreu 1983 年 诺贝尔经济奖演说,金融经济学第二讲,8,金融学数学化成功的基本原因,模仿 Debreu 的警句，我们可以说：金融学数学化成功的基本原因是：portfolio 与 linear combination 之间有对应关系。即证券组合的价值等于证券价值的线性组合。 这一“对应关系”被当作“不证自明”的公理。 因此，“未来未定权益空间”首先形成一个线性空间。这个线性空间可能是有限维的，也可以是无限维的。 定价问题则是两个线性空间之间建立对应关

4、系。,金融经济学第二讲,9,最早的“金融资产定价”研究,历史上最早的“金融资产定价”研究紧密联系着概率论的早期历史。当时研究的“金融资产”就是赌博。 从“定价”（“下赌注”）的角度来看，赌博与金融资产一样，要确定“未来”价值不确定的“赌局”的“当前”价值。 概率论最早的著作就是关于赌博的一些通信。,金融经济学第二讲,10,概率论的早期历史,Blaise Pascal (1623-1662),Pierre de Fermat (1601-1665),1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率论的基础。他们当时考虑一个掷骰子问题，开始形成数学期望的概念，并以“输赢的钱的数学

5、期望”来为赌博“定价”。,金融经济学第二讲,11,Pascal - Fermat 问题,二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 结论：应该用数学期望来定价。,金融经济学第二讲,12,Bachelier 的观念,Pascal-Fermat 的观念被 Bachelier 用到证券市场的定价上。 如果证券的未来价值是随机变量 x, 那么其当前价值就是 p(x)=Ex, 或者 x=p(x)+, 其中 E=0.,金融经济学第二讲,13,随机

6、游走、布朗运动和鞅,金融经济学第二讲,14,随机游走、布朗运动和鞅 (续),金融经济学第二讲,15,有效市场理论的先驱,这几个概念虽然都是后人提出的，但都起源于 Bachelier 1900 年的论文，而其更早的根源是 17 世纪的 Pascal-Fermat 的观念。 这样的观念也成为有效市场理论的先驱；不过后人发现：把上述价格序列代换为价格的对数序列更符合实际。早期有效市场理论就企图验证这样的结果。,金融经济学第二讲,16,时间价值和风险价值,上述观念的最大问题是不能解释证券的时间价值和风险价值。 经过长时期的金融学研究，人们最后发现，应该把 p(x)=Ex 取代为 p(x)=Emx. 其

7、中 m 称为随机折现因子。 m 也可看作对概率测度的一种变换，即在另一种概率测度下，可以有 E*x=Emx, 整个理论又可回归到原来。,金融经济学第二讲,17,无套利假设,解决金融资产定价问题的出发点是无套利假设。 无套利假设的简单说法就是“无钱投入就无钱产出”。它相当于在普通商品经济中的“无投入就无产出”假设对金融商品的要求。 数学公理化的方法就是要把一些作为假设的想法，用一个数学模型把它表达出来。,金融经济学第二讲,18,无套利假设的五个层次,未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价。 组合的若干倍的当前价值应该等于该组合的当前价值的同样倍数。 组合的买价与卖价应该一致。 组合的当前价值应

8、该等于其组合成分的当前价值之和。 未来值钱 (价值为正) 的组合，当前也值钱。,金融经济学第二讲,19,无套利假设五个层次的数学表达 (未来价值确定情形）,(可定价法则) 存在定价函数 (正齐次定价法则) 是正齐次函数，即对于任何正实数 和实数 (齐次定价法则) 是齐次函数，即对于任何实数 和实数 (线性定价法则) 是线性函数，即对于任何实数 和 (正线性定价法则) 是正线性函数，即当 时，,金融经济学第二讲,20,无套利假设五个层次的数学表达 （一般情形）,(可定价法则) 存在定价函数 (正齐次定价法则) 是正齐次函数，即对于任何正实数 和实数 (齐次定价法则) 是齐次函数，即对于任何实数

9、和实数 (线性定价法则) 是线性函数，即对于任何实数 和 (正线性定价法则) 是正线性函数，即当 时，,金融经济学第二讲,21,关于“五个层次”的新认识,如果我们承认证券组合的价值等于证券价值的线性组合，即如果我们承认“未定权益空间为线性空间”，那么 2, 3, 4 层次将是第 1 层次的直接推论。 因此，更重要的是第 1 层次和第 5 层次。它们的表述与线性结构无关。 在金融学文献中，第 1 层次称为一价定律 （law of one price)，第 5 层次称为无套利机会 (no arbitrage, absence of opportunity for arbitrage).,金融经济学

10、第二讲,22,“一价定律”的经典表述,“一价定律”往往被看作经济学的“一般定律”。 Modigliani 和 Miller 在他们1958年的经典论文中正是以此作为他们论述的出发点：“完善 (perfect) 市场”中 “互相完全可替代的两种商品在均衡中必须都以同样的价格出售”。 正如我们前面所述，它意味着一种线性定价法则。,金融经济学第二讲,23,“一价定律”与“无套利机会”,在“二期模型”中，“一价定律”可形象地表述为“将来（不确定）价值一样，现在（确定）价值也一样”。 “无套利机会”可形象地表述为“将来（不确定）值钱（为正），现在（确定）也值钱（为正）。 在存在无风险证券（钱）的模型中，

11、“无套利机会”一定能导出“一价定律”。因此，“无套利机会”将意味着一种“正线性定价法则”。,金融经济学第二讲,24,二期模型,金融经济学第二讲,25,均值方差分析,Markowitz (1952) 首先提出把收益率看作随机变量，并用它的均值（数学期望）来刻画“收益”，用它的方差来刻画“风险”。这个观点沿用至今。 有了这样的观念以后，利用随机变量可进行线性运算，我们就可用来处理证券组合，其中的“风险”可“分散”、“对冲”以至“重新组合”。这是金融工程的核心。,金融经济学第二讲,26,随机变量的均值和方差,任何一个随机变量 x 总可分解为它的均值和随机波动两部分： 其中 是 x 的方差。 如果 是

12、另一个随机变量，其方差 , 那么它们的协方差为 其中 是它们的相关系数。,金融经济学第二讲,27,随机变量与向量的比较,随机变量： 向量： 协方差： 内积： 标准差： 长度： 相关系数 ： 夹角余弦： 数学公理化方法把“同构”的东西看作（外延上）“同样”的东西！,金融经济学第二讲,28,基本假设,未定权益空间 是一些方差有限的随机变量形成的向量空间。 如果对于任何 定义 为它们的内积，那么 是Hilbert 空间。 定价函数 为线性连续函数。,金融经济学第二讲,29,简单情形的模型,市场中只有 K 种证券，“未定权益空间” 就是这 K 种证券的未来价格的各种线性组合所张成的 (有限维) 空间。

13、 定价函数就由这 K 种证券的当前价格的线性组合来形成。但是为了保证能定价，必须要求“未来价值一样的未定权益当前有一样的价值” (一价定律)。 为讨论“风险分解”，这个 同样需要引入内积。,金融经济学第二讲,30,金融资产定价理论的总思路,金融经济学的基本问题是在不确定市场环境下对金融资产定价：已知金融资产未来可能的价值，要定它的当前价值。 最早的解答是：p(x)=Ex, 后来的解答是： p(x)=Emx. m 的根据是“无套利假设 (线性定价法则)”。 由此可导出,金融经济学第二讲,31,Poincar、Einstein 和 Hilbert,Jules Henri Poincar (1854

14、-1912) 法国数学家、物理学 家、哲学家,David Hilbert (1862-1943) 德国数学家,Albert Einstein (1879-1955) 德国物理学家,金融经济学第二讲,32,“公理化”数学回顾,金融经济学第二讲,33,“公理化”数学回顾（续）,金融经济学第二讲,34,“公理化”数学回顾（续）,金融经济学第二讲,35,“公理化”数学回顾（续）,金融经济学第二讲,36,“公理化”数学回顾（续）,金融经济学第二讲,37,“公理化”数学回顾（续）,金融经济学第二讲,38,内积空间,金融经济学第二讲,39,Euclid 空间和 Hilbert 空间,金融经济学第二讲,40,

15、Hilbert 空间的正交分解,金融经济学第二讲,41,Riesz 表示定理,金融经济学第二讲,42,Hilbert 空间,Hilbert 空间是有限维向量空间的推广。它有三个条件：1. 有向量空间的结构，即两个向量可相加，一个向量可与实数相乘；2. 其上定义了内积；3. 它满足完备性条件。 这是一个定义了向量的长度、向量间的夹角、并且可以作极限运算的向量空间。,金融经济学第二讲,43,Hilbert 空间的重要性质,正交性：两个向量正交是指它们的内积为零。 正交分解：对于它的任何一个闭子空间，都存在另一个闭子空间，使得它们正交，并且每个向量可分解为这两个闭子空间中的向量之和。同时，还有“勾股定理”成立。,金融经济学第二讲,44,Riesz 表示定理,定理指出， Hilbert 空间中的每一个连续线性函数一定可用内积形式表示。 这一定理是 Hilbert 空间的正交分解定理的推论。利用连续线性函数的“零空间”是一个闭子空间，再对它作正交分解，那么这个闭子空间的适当长度的“法向量”就是所求的“内积向量”。,金融经济学第二讲,45,随机折现因子存在定理,由 Riesz 表示定理立即可得：在上述基本假设下，存在唯一的 使得对于任何 有 利用协方差的概念，由此得到 前一项是未定权益的时间价值，后一项是证券的风险价值。 是无风险利率。,金融经济学第