2016年高三文数第二轮复习

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1、第16讲 直 线 与 圆,【备考策略】本部分内容在备考时应注意以下几个方面: (1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂直的位置关系. (2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义. (3)掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的位置关系，会利用位置关系解决综合问题. 预测2016年命题热点为:(1)根据两直线的位置关系求参数的值. (2)根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹.,【知识回顾】 1.必记公式 (1)直线的斜率公式 已知直线的倾斜角为(90)，则直线的斜率为k=_. 已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2x1)，则直线的

2、斜率为k=_(x2x1).,tan,(2)三种距离公式 两点间的距离:若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=_. 点到直线的距离:点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=_. 两平行线的距离:若直线l1，l2的方程分别为l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0，则两平行线的距离d=_.,(3)直线与圆相交时弦长公式 设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长l=_. (4)直线方程 点斜式:y-y0=k(x-x0)(k存在) 两点式: (x1x2，y1y2) 一般式:Ax+By+C=0(A，B不同时为0),(5)圆的方程 标准方程:(x-a)2+(y-b

3、)2=r2. 一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).,2.重要关系 (1)直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时: (i)两直线平行:l1l2_. (ii)两直线垂直:l1l2_. 当两直线方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0时: (i)l1与l2平行或重合A1B2-A2B1=0. (ii)l1l2A1A2+B1B2=0.,k1=k2,k1k2=-1,(2)两圆的位置关系 设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.,内含,内切,相交,外切,外离,3.必用技法 (1)常用方法:待定系数法.直线与圆位置关系的代数法与几

4、何法. (2)主要思想:数形结合、分类讨论.,【考题回访】 1.(2014安徽高考)过点P(- ，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) 【解析】选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+ )，则圆心到该直线的距离d= =1，解得k1=0，k2= ，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是 .,2.(2015广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( ) A.2x-y+ =0或2x-y- =0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x+y+5=0或2x+y-5=0,【解

5、析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有 解得c=5，所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.,3.(2015山东高考)一条光线从点(-2，-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ),【解析】选D.反射光线过点(2，-3)，设反射光线所在直线方程为 y+3=k(x-2)，即kx-y-2k-3=0，反射光线与圆相切，圆心(-3，2)到 直线的距离等于半径1，即 =1，解得,4.(2015湖南高考)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A，B两点，且AOB=120(O为坐标原点)，则r=_.,【解析

6、】如图，直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心(0，0)到直线3x-4y+5=0的距离为 r，即 所以r=2. 答案:2,热点考向一 直线的方程 【典例1】(1)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 (2)(2015南昌模拟)已知点A(2，0)，B(-2，4)，C(5，8)，若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是( ) A.(6，7) B.(7，6) C.(-5，-4) D.(-4，-5),【解题

7、导引】(1)根据两直线平行的充要条件求解，但需验证两直线是否重合. (2)先求线段AB的垂直平分线，再根据线段CD的中点在垂直平分线上及直线CD与AB平行验证可得答案.,【规范解答】(1)选C.因为直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行， 所以(k-3)(-2)-(4-k)2(k-3)=0. 解得:k=3或5，经检验k=3或5符合题意. (2)选A.由点斜式求得线段AB的垂直平分线方程为x-y+2=0，再根据线段CD的中点在垂直平分线上，直线CD与AB平行，检验可得选项为A.,【方法规律】求直线方程的两种方法 (1)直接法:选用恰当的直线方程的

8、形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果. (2)待定系数法:先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数. 温馨提示:巩固训练可作【高效演练】T1.,【易错提醒】(1)忽略直线斜率不存在的情况 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在. (2)忽略检验致误 求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.,【加固训练】1.(2015合肥模拟)已知A(3，1)，B(-1，2)，若ACB的平分线方程为y=x+1，则AC所在的直线方程为( ) A.y=2x+4 B.y= x

9、-3 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0,【解析】选C.由题意知直线AC，BC关于直线y=x+1对称，则点B(-1，2)关于直线y=x+1的对称点B(1，0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k= ，从而直线AC的方程为y-1= (x-3)，即x-2y-1=0.,2.若直线l:y=kx- 与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的范围是( ),【解析】选B.方法一:由 解得: 因为交点在第一象限， 所以 解得: 所以，直线l的倾斜角的范围是,方法二:因为直线l:y=kx- 恒过定点(0，- )，直线2x+3y-6=0与x轴，y轴交点的坐标分别为(3，0)，(0，2)

10、. 又因为点(0，- )与点(3，0)连线的斜率为 点(0， - )与点(0，2)连线的斜率不存在， 所以要使直线l与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则k 所以直线l的倾斜角的范围是,3.(2015绍兴模拟)若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_条. 【解析】易知过(2，0)与x轴垂直的直线符合题意; 设l:y=k(x-m)即:kx-y-km=0， 由点到直线的距离公式得， 解得m=-2，k= 故总共有3条直线符合题意. 答案:3,热点考向二 圆的方程 【典例2】(1)(2015全国卷)一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的

11、标准方程为_. (2)(2015苏州模拟)已知M的圆心在第一象限，过 原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3x+y=0相切， 则圆M的标准方程为_.,【解题导引】(1)求出椭圆的四个顶点坐标，根据圆心位置判断圆经过的三点，再用待定系数法求解. (2)设出圆的标准方程，列方程组求解.,【规范解答】(1)由题意知，椭圆上、下顶点的坐标为(0，2)， (0，-2)，左、右顶点的坐标为(-4，0)，(4，0)，由圆心在x轴的正 半轴上知圆过点(0，2)，(0，-2)，(4，0)，设圆的标准方程为(x- m)2+y2=r2，则有 解得 所以圆的标准方程为 答案:,(2)设M的方程为(x-a)2+(y-b

12、)2=r2(a0，b0，r0)，由题意知 解得 故M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 答案:(x-3)2+(y-1)2=10,【一题多解】因为圆M过原点，故可设方程为x2+y2+Dx+Ey=0，又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则 =32，故D=-6，与 3x+y=0相切，则 即E=D=-2，因此所求方程为x2+y2-6x-2y=0. 故M的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 答案:(x-3)2+(y-1)2=10,【方法规律】求圆的方程的两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法:用待定系数法先设出

13、圆的方程，再由条件求得各系数. 温馨提示:巩固训练可作【高效演练】T2.,【加固训练】已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为_. 【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1，0)，所以a=1，b=0.又根据 =1=r，所以圆的方程为(x-1)2+y2=1. 答案:(x-1)2+y2=1,热点考向三 直线(圆)与圆的位置关系 命题角度一:求轨迹方程、最值及参数问题 【典例3】(1)(2015海淀二模)直线 与圆x2+y2=1相交于A，B两点(其中a,b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与

14、点(0,1)之间距离的最大值为( ),(2)(2015江西百校联考)已知点G(5，4)，圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段EF的中点为C. 求点C的轨迹C2的方程. 若过点A(1，0)的直线l1与C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M;又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N，求证:|AM|AN|为定值.,【解题导引】(1)利用圆心到直线的距离为 ，可求a与b的关系，再根据两点间距离公式，利用二次函数求最值. (2)利用 =0求解. 先求点M，N的坐标，再证明结论.,【规范解答】(1)选A.由已知可得 即 又点 P(a,b)与点(0,1)

15、的距离 因为 故当 时，d有最大值 故选A.,(2)圆C1的圆心为(1，4)，半径为5， 设C(x，y)，则 =(x-1，y-4)， =(5-x，4-y)， 由题设知 =0，所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0， 即(x-3)2+(y-4)2=4， 所以点C的轨迹C2的方程是(x-3)2+(y-4)2=4.,直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0， 可设直线方程为kx-y-k=0, 由 得 又直线C2M与l1垂直，由 得 所以|AM|AN|= =6(定值).,【母题变式】1.(变换条件、改变问法)本例(2)中，若线段EF的中点为G，试求直线l的方程. 【解析】由题意知lC1G，直线C1G的斜率 则直线l的斜率不存在，从而直线l的方程为x=5.,2.(变换条件、改变问法)本例(2)中，若圆C1方程不变，且直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C1有公共点，求k的取值范围. 【解析】圆C1的圆心为(1，4)，半径为5，由题意知，直线y=kx-2上存在一点A，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C1有公共点，则点C1到直线y=kx-2的距离