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1、高校理科通识教育平台数学课程,概率论与数理统计,讲授,孙学峰,二维随机变量函数的分布,3.3 二维随机变量函数的分布,内容： 已知二维随机变量（X，Y）的概率分布，求其函数Z= g (X,Y)的概率分布 要点： 1. 二维离散型随机变量函数的分布 2. 二维连续型随机变量函数的分布,例1 已知(X, Y) 的联合分布见右表，求 （1）Z1 = X+Y 的概率分布; （2）Z2 = X- Y 的概率分布.,解 由(X,Y)的分布可得:,去掉概率为0的值，并将相同函数值对应的概率求和，从而得到：,1. 二维离散型随机变量函数的分布,(1) Z1=X+Y的分布为,(2) Z2=X-Y的分布为,一般地
2、，如果(X, Y)的概率分布为,记zk(k=1,2,)为Z=g(X,Y)的所有可能的取值，则Z的概率分布为,(1) Z = X + Y 的分布,已知(X, Y)的联合概率密度 f(x,y)，求Z =X+Y 的分布函数。,根据分布函数定义有,对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为,由对称性可得,已知(X,Y)的 密度f(x,y), 求Z=g(X,Y)的概率密度fZ(z)。,2. 二维连续型随机变量函数的分布,例2 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为,和,求随机变量Z=X+Y的概率密度.,解,由于X与Y相互独立，所以,当z0时,当z0时,FZ(z)=0. 于是,卷积公式: 若X, Y相互独立，
3、则 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入前述 fZ(z) 的表达式可得,例3 设X和Y是互相独立的随机变量，且XN(0, 1), Y N(0,1)，求Z = X +Y 的概率密度。,解 由于X、Y互相独立, 由卷积公式,（2）如果Xi (i=1,2,n)为 n 个互相独立的随机变量,且 Xi N( i，i2)，则,（1）若X1N(1,12) , X2N(2,22) ，且X1、X2相互独立，则有,X1+X2N,即 Z=X+YN(0, 2). 一般地有,解 X 、Y 的概率密度,当0z1时,当1z2时,例4 设X、Y的相互独立，且都在0, 1上服从均匀分布，求 Z=X+Y 的分布。,所以,
4、(2) Z = X / Y 的分布,设 (X,Y)是二维连续型随机变量，概率密度f(x,y) ，求Z = X / Y 的分布. 按定义，有,其中,如图.,故 Z=X/Y 的概率密度为,当X、Y相互独立时,例4 设X、Y相互独立，都服从正态分布N(0, 1)，试求Z=X / Y的概率密度,解,(3)、M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）,设随机变量X,Y相互独立，且分布函数分别为FX(x)，FY(y)，求M与N的分布函数。,即M的分布函数为,即N的分布函数为,结论的推广 (1)设X1,X2,Xn相互独立，且Xi的分布函数为Fi(xi)，则 M=maxX1,X2,Xn的分布
5、函数为FM(z)F1(z)F2(z)Fn(z),N=minX1,X2,Xn的分布函数为,(2)当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)，则 M=maxX1,X2,Xn的分布函数为FM(z)F(z)n N=minX1,X2,Xn的分布函数为FN(z)1-1-F(z)n,(3)当X1,X2,Xn相互独立且具有相同的概率密度f(x)，则 M=maxX1,X2,Xn的密度函数为fM(z)=nF(z)n-1f(z) N=minX1,X2,Xn的分布函数为FN(z)n1-F(z)n-1f(z),例3.22 设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接的方式分别为(1)串联，(2)并
6、联，如图所示。设L1，L2的寿命分别为X与Y，而且,其中0，0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的分布函数与概率密度函数。,解 (1)串联时，当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)。,由条件可得X,Y的分布函数分别为,Z的分布函数为,Z的概率密度函数为,(2)并联时，当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，因此L的寿命Z=max(X,Y) 其分布函数为,密度函数为,例3.23 设(X,Y)在G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，试求Z=XY的密度函数。,解 (X,Y)的联合密度函数为,Z的分布函数为,O z 1 2 x,y,1,z=xy,当z0时，FZ(z)=0;,当0z2时，,当z2时，,Z的密度函数,y,1,z=xy,O,x,2,P95 2. 3. 5. 6.,作业,
