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1、1,前面内容概括：求解电子在周期势场内的本征态（本征函数）和能量本征值。对本征态和能量本征值的了解是研究各种有关电子运动的基础。,进一步的问题是讨论在外场作用下，晶体中电子的运动规律问题。这个外场可以是外加的电场、磁场、掺入晶体的杂质势场等。讨论的方法一是求解含有外加势场U(r)的波动方程：,另一种方法是把电子近似当作经典粒子来处理，这就是所谓能带电子的准经典近似。 直观、简单、易于接受。,求解困难、复杂。,2,周期场中单电子薛定谔方程：,波函数解为布洛赫函数：,我们求解的薛定谔方程为定态薛定谔方程，解为定态解。考虑时间因子，只需乘以e-it=e-iEt/：,含时波函数,3,电子和波包,根据布
2、洛赫理论，一个电子的本征状态是由确定波矢k和确定能量E(k)的布洛赫波函数来描述，波矢（动量）确定，坐标则完全不确定。-与经典理论迥异,经典粒子具有确定的动量和坐标，量子力学中由于不确定原理，这是不可能的。量子力学中，如果可以采用经典方法描述一微观粒子的运动，其态对应波包的概念。,晶体内波包对应的电子态可以看作一些本征态的叠加。把k附近k范围的布洛赫本征态叠加构成与k量子态对应的波包。波矢k和坐标r均只为近似值，精度由不确定原理确定。-经典近似,4,晶体中电子速度,电子对应波包，电子的速度即波包的群速v：,或,电子的速度与能谱E(k)有关。,5,在外力作用下，E(k)会发生变化，外力F 做功大
3、小等于电子能量的改变量,利用电子速度与E(k)的关系：,以上两式相等：,这就是外力作用下的电子运动方程。它与牛顿第二定律具有相同的形式，其中k相当于经典力学中的动量，称为电子的准动量。,6,F指外力，不包括晶格周期势场对电子的作用力。因此上式虽然牛顿第二定律具有类似的形式，看起来电子具有k的动量，但k不是电子的真实动量，故称为“准动量” 或“晶体动量” 。,晶体电子的准动量,晶格周期势场对晶体内电子的作用造成电子具有一定的能量E(k)和本征态(r)。,7,晶体电子加速度和有效质量,一维情况：,电子速度,电子运动方程,牛顿定律：,定义：,为电子有效质量。,8,加速度为速度随时间的变化，其分量：,
4、写成矩阵形式：,三维情况：,9,定义：,张量1/m*的每一个分量：,选取kx，ky，kz为主轴，则有：,倒有效质量矩阵,10,m*为三维晶体电子的有效质量张量。其是一个张量。,定义,表现出与牛顿定律的相似性。,11,有效质量的物理意义,F指外力，不包括晶格周期势场对电子的作用力，故F并不是电子受到的总作用力。因此有效质量也不是电子的真实质量，有效质量m*实际包含了周期势场的作用。当然表现出不同的特征：,m*为张量 m*可以小于或大于电子实际质量，甚至可以为负值。 m*不是常量，与k有关。 m*x、 m*y、 m*z可以不相等。,12,例：用紧束缚近似理论计算一维单原子晶格的s态电子形成的能谱，
5、并求晶格电子速度和有效质量。,由于J1 0，故Ej(0)=Ej-J0-2J1为带底(能量取最小值)，Ej(/a)= Ej-J0+2J1为带顶(能量取最大值)。,13,E(k)、v(k)、m(k) 都是k的周期函数，周期2/a,带底和带顶的电子速度都等于零,电子的有效质量可正可负。能带顶附近有效质量为负，能带底附近有效质量为正。,14,重点,能根据能谱E(k)求解能带电子速度和有效质量。电子速度和有效质量的意义。 电子的准动量和运动方程,15,作业,1. 设有一维晶体的电子能带可以写成：,其中a是晶格常数，试求：,（1）电子在波矢k状态的速度 （2）能带底部和顶部的有效质量。,2. 已知简单晶格，紧束缚近似下s态电子的能谱为：,计算电子速度和有效质量的表达式。分别计算能带底和能带顶的电子速度和有效质量并与一维单原子链比较。,16,16,作 业,1. 根据自由电子近似，简单解释能隙的由来？,2. 设有二维正方晶格，晶格常数为a，求： 1）零级近似下（即自由电子近似），证明第一布里源区顶角对应电子的能量为区边中点的2倍。 2）假设其晶体势场为：,根据近自由电子近似理论，求其第一布里源区顶角（/a, /a)处的能隙。,O,A,B,二维正方晶格第一布里源区,
