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1、第五章 优选法,51 概述,优选法是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。 优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用。 优选法也叫最优化方法。,51 概述,优选法基本步骤： 1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数据是用来判断优选程度的依据。 2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数 3）优化计算 优化(选）试验方法一般分为两类： 分析法：同步试验法 黑箱法：循序试验法,52 单因素优选法,如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题
2、一般步骤： （1）首先应估计包含最优点的试验范围，如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为a，b。 （2）然后将试验结果和因素取值的关系写成数学表达式，不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏的方法。 为了方便起见，仅讨论目标函数为f(x)的情况。,52 单因素优选法,一、来回调试方法,在区间a，b内有一个单峰函数f(x)，我们有如下的方法找到它的顶峰(并不需要函数f(x)的真正表达式)。 先取一点x1做实验得y1=f(x1)，再取一点x2做实验得y2=f(x2)，如果y2y1，则丢掉a，x1，(如果y1y2，则丢掉x2，b)。在余下的部分中取一点x3(这点x3也可能取在x1，x2之间)，做实验
3、得y3=f(x3)，如果y3y2，则丢x3，b，再在余下的(x1，x3)中取一点x4，不断做下去，不管你怎样盲目地做，总可以找到f(x)的最大值。,52 单因素优选法,一、来回调试方法,但问题是：怎样取x1，x2使收效最快(这里，效果是对任意f(x)而言的)，也就是做实验的次数最少。要回答这一问题，还需要一些并不高深的数学知识(例如：高等数学引论第一章的知识)。,52 单因素优选法,二、黄金分割法（0.618法） 对于一般的单峰函数，我们可以采用此法。,52 单因素优选法,0.618法的作法为：第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，即：,52
4、单因素优选法,如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果，如果f(x1)比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范围（a， x2）划去剩下（ x2，b），如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻找好点。,52 单因素优选法,a x3 x2 x1,52 单因素优选法,。,。,：,52 单因素优选法,例53 炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加入范围是10002000克，求最佳加入量。,52 单因素优选法,第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)0.618
5、=1000+(2000-1000)0.618=1618克,第二步 第（2）个试验点由公式（52）计算 x2=大小第一点=2000+1000-1618=1382克,52 单因素优选法,第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉1000,1382那一段范围。留下1382,2000,x3=大小第一点=1383+2000-1618=1764克,52 单因素优选法,第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，如此反复，直到得
6、到较好的试验结果为止。,可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可。,52 单因素优选法,三、分数法 斐波那契数列 ： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,Fn=Fn-1+Fn-2,它们交错地或大于或小于黄金比的值。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，哪里也就会出现斐波那契数，反之亦然。,52 单因素优选法,三、分数法 分数法也是适合单峰函数的方法，该方法要求预先知道试验总数。,分数法试验（P70 表5-1）,找规律！,52 单因素优选法,四、对分法（平分法）
7、 如果在试验范围内，目标函数单调，则可以选用此法。,f(x),f(x),52 单因素优选法,平分法的作法为：总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为： 根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把此试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在低处（取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半范围划去，重复上面的试验，直到找到一个满意的试验点。,52 单因素优选法,例51 乳化油加碱量的优选（用循序试验法） 高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1，需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为14.4。
8、 第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2 有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围。,1% 2.7% 4.4%,52 单因素优选法,第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2 乳化良好 第三次，为了进一步减少乳化时间，不走考虑少于1.85%的加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2 乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满意，试验停止。,五、抛物线法,对技术精益求精，不管是黄金分割法或是分数法，都只比较一下大小，而不管已做实验的数值如何。我们能不能利用一下，例如在试得三个数据后，过这三点作一抛物线，以这抛物线的顶点作下次试验的根据.确切
9、地说在三点x1，x2，x3各试得数据y1，y2，y3。,处取最大值。因此我们下一次的选点取x=x0(但最好是当y2比y1和y3大时，这样做比较合适)。同时当x0=x2时，我们的方法还必须修改。,我们用插入公式,（5-3）,（5-4）,这函数在,注意具体操作步骤，讲解教材P71例5-2,六、分批试验法,在有些试验中，做一个实验的费用和做几个试验的费用相差无几，此时我们也希望同时做几个试验以节省费用。有时为了提高试验结果的可比性，也要求在同一条件下同时完成若干个试验。在上述这些情况下，就要采用分批试验法。分批试验法可分为均分分批试验法和比例分割分批试验法两种。,六、分批试验法,（一）均分分批试验法
10、 分批试验法就是每批试验均匀地安排在试验范围内。例如，每批做四个试验，我们可以将试验范围均匀地分为五份，在其四个分点x1,x2,x3,x4 处做四个试验。然后同时比较四个试验结果，如果x3好，则去掉小于x2和大于 x4的部分。然后在留下的x2-x4范围内再均分六等分，在未做过试验的四个分点上再做四个试验，这样进行下去，就可获得最佳点。用这个方法第一批试验后范围缩小为2/5，以后每批试验后都缩小为前次范围的1/3。见下图6-1。,图6-1 每批做四个试验的均分分批法示意图,对于一批做偶数个试验的情况，均可仿照上述方法安排试验。假设做2n个试验(n为任意整数)，则可将试验范围均分为2n+1份，在2
11、n个分点x1,x2,x2n上做2n个试验，如果 最好，则保留（ ）部分作为新的试验范围，将其均分为2n+2份，在未做过试验的2n个分点上在做试验，这样继续下去，就能找到最佳点。用这个方法，第一批试验后范围缩小为2/(2n+1)，以后每批试验都是将2n个试验点均匀地安排在前一批试验好点的两旁，试验后范围缩小为前批试验范围的1/(n+1)。,（二）比例分割分批试验法 这种方法是将试验点按比例地安排在试验范围内。当每批做偶数个试验时，我们可采用上面介绍的均分分批法安排试验。当每批做奇数个实验时，可采用以下方法： 设每批做2n+1个试验，首先把含优区间分为2n+2份，并使其相邻两段长度分别为a和b(a
12、b)。见图-。第一批试验就安排在2n+1个分点上。根据第一批试验结果，在好点左右分别留下一个a区和b区。然后把新含优区间a+b中的a段分成2n+2份，使相邻两段为a1和b1(a1b1)，并使a1=b，令,可推得为,则b=,(-),式中 可由(-)式根据每批试验次数求出，例如，若每批做三个试验，则n=1,由(-)式， 0.366 若每批做五个试验，则n=2, 0.264。 用上述方法安排试验，一直进行下去，直到得到满意结果为止。见图6-3。,图6-3 比例分割法第二批试验点示意图（试验次数为奇数时）,图6-2比例分割法第一批试验点示意图（试验次数为奇数时）,七、（瞎子）爬山法 瞎子在山上某点，想
13、要爬到山顶，怎么办？从立足处用明杖向前一试，觉得高些，就向前一步，如果前面不高，向左一试，高就向左一步，不高再试后面，高就退一步，不高再试右面，高就向右走一步，四面都不高，就原地不动.总之，高了就走一步，就这样一步一步地走，就走上了山顶。 这个方法在不易跳跃调整的情况下有用，当然我们也不必一步一步按东南西北四个方向走，例如在向北走一步向东走一步后，我们得出z0，z1，z2三个数据，由此可以看到由z1到z2的陡度是z2-z1，,这个方法适合于正在生产着而不适于大幅度调整的情况。,方向。,八、多峰情况（P73-74） :=0.618:0.382 接着可用0.618法,对开法、旋升法、平行线法、 按
14、格上升法、翻筋斗法,53 双因素优选法,（一）对开法（纵横对折法）,。,例9 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的白油最多。 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为5090（体积百分比），用量范围为3070（重量百分比），精度为5。,作法：先横向对折，即将用量固定在50，用单因素的0618法选取最优浓度为80（即图610）的点3。而后纵向对折，将浓度固定在70，用0618法对用量进行优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再纵向对折，将浓度固定在80，对用量
15、进行优选，试验点11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3（见表63），试验至此结束。,（二）旋升法 P75,axb； cyd 中线x（a+b）/2，垂直，水平，垂直 最佳点,（三）平行线法 在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假设试验范围为一单位正方形, 即 0x11， 0x21,上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不失普遍性，可以假设它是单位立方体： 0x11， 0x21， 0x31 又设x3为较难调变的，那么将x3先后固定在0.618和0.382处，就得到两个平行平面:0x11， 0x21,X30.618 与0x11， 0x21 X3=0.382 这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用（任何）两因素求出最优点，设最优点为A1和A2（见图15）。然后比较A1和A2上的试验结果。,图-,平行线加速法:,图-6,图-7,（四）按格上升法 P77,（五）翻跟斗法 P77,先将所考虑的区域画上格子，然后采用与上述三种方法类似的过程进行优选，但有分数法代替黄金分割法。,从一个等边三角形ABC出发，在三个顶点A、B、C各做一个试验点，最佳点再做等
