《届高三数学数列求和及综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高三数学数列求和及综合应用（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.数列通项的求法,由递推关系式确定数列的通项. 2.数列的性质、通项、求和. 3.数列与不等式、数列与函数、数列与方程. 4.数列与数学归纳法.,学案14 数列求和及综合应用,1.(2009四川)等差数列an的公差不为零,首项a1= 1,a2是a1和a5的等比中项,则数列an的前10项之和 是 ( ) A.90 B.100 C.145 D.190 解析 由题意知,(a1+d)2=a1(a1+4d),即 d=2a1=2. S10=10a1+ =10+90=100.,B,2.(2009安徽)已知an为等差数列,a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使得S
2、n达到 最大值的n是 ( ) A.21 B.20 C.19 D.18 解析 (a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, 99-105=3d,d=-2. 又a1+a3+a5=3a1+6d=105,a1=39. Sn=na1+ =-n2+40n=-(n-20)2+400. 当n=20时,Sn有最大值.,B,3.(2009江西)公差不为零的等差数列an的前n项 和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于 ( ) A.18 B.24 C.60 D.90 解析 由 得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d). d0,2a1+3d=0. S8=8a1+ d=32,2
3、a1+7d=8. 由得 S10=-310+ 2=60.,C,4.(2009湖北)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如: ( ) 他们研究过图(1)中的1,3,6,10,由于这些数能 够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图 (2)中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.,下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 由图形可得三角形数构成的数列通项an= 同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,只 有1 225满足a49= =b35=352.,C,题型一 数列与函数、方程的综合应用 【例1】设p、q为实
4、数, 是方程x2-px+q=0的两个 实根.数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2 (n= 3,4,). (1)证明: (2)求数列xn的通项公式; (3)若p=1,q= ,求xn的前n项和Sn.,(1)证明 由求根公式,不妨设 ,则,(2)解 设xn-sxn-1=t(xn-1-sxn-2),则 xn=(s+t)xn-1-stxn-2,由xn=pxn-1-qxn-2, 得 消去t,得s2-ps+q=0, s是方程x2-px+q=0的根. 由题意可知 当 时,此时方程组,xn-t1xn-1、xn-t2xn-1分别是公比为 的 等比数列.由等比数列的性质可得 两式相减,
5、得,当 时,即方程x2-px+q=0有重根, p2-4q=0,即(s+t)2-4st=0,得(s-t)2=0, s=t.不妨设s=t= 由可知,(3)解 把p=1,q= 代入x2-px+q=0,得 x2-x+ =0,解得,【探究拓展】本题主要考查数列的递推公式、数列求 和以及数列与方程的综合题,考查学生分析问题、解 决问题以及推理论证的能力. 变式训练1 已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原 点,其导函数为f(x)=6x-2,数列an的前n项和为Sn, 点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn= Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn
6、 对所有nN*都成立的最小正整数m.,解 (1)设二次函数为f(x)=ax2+bx(a0), 则f(x)=2ax+b， 由于f(x)=6x-2得a=3,b=-2, 所以f(x)=3x2-2x. 又由点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上， 得Sn=3n2-2n. 当n2时,an=Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5； 当n=1时,a1=S1=312-2=61-5=1. 所以an=6n-5(nN*).,(2)由(1)得知 因此,要使 (nN*)成立,m必须且仅需 满足 即m10，故满足要求的最小正整数m为 10.,题型二 数列与不等式的综合应用
7、 【例2】(2009江西)各项均为正数的数列an,a1=a, a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有 (1)当a= ,b= 时,求通项an; (2)证明:对任意a，存在与a有关的常数 使得对于 每个正整数n,都有,(1)解 由 将a1= ,a2= 代入上式化简得 故数列 为等比数列，从而 即 可验证 满足题设条件.,(2)证明 由题设 的值仅与m+n有关,记 为bm+n, 考察函数 (x0),则在定义域上有 故对nN*,bn+1g(a)恒成立.,【探究拓展】本题考查数列的通项公式的求法、不等 式的解法及利用函数的单调性解题的基本方法,考查 了学生分析问题、解决问题的能力，要
8、求较高.,变式训练2 设数列an的前n项的和Sn= n=1,2,3, (1)求首项a1与通项an； (2)设Tn= n=1,2,3,证明: (1)解 由Sn= n=1,2,3, 得 所以a1=2, 再由有 n=2,3,4, 将和相减得： an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- (2n+1-2n), n=2,3,4,整理得an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,4, 因而数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数 列，即an+2n=44n-1=4n, 所以an=4n-2n (n=1,2,3,). (2)证明 将an=4n-2n，代入得,题型三 数列与解析几何的综合应用
9、【例3】(2009广东)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2 ).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线 ln,切点为Pn(xn,yn). (1)求数列xn与yn的通项公式； (2)证明:x1x3x5x2n-1,(1)解,(2)证明,f(x)在(0, )上单调递减. f(x)f(0)=0,即x sin x在(0, )上恒成立. 即x1x3x5x2n-1 【探究拓展】解决数列与解析几何这类问题的关键是 明确目标,即将待求问题运用相关知识及手段，转化 成我们较为熟悉的问题，再用相关的知识去求解.,变式训练3 已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,
10、f(xn)处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(nN*),其中 x1为正实数. (1)用xn表示xn+1; (2)求证:对一切正整数n,xn+1xn的充要条件是x1 2; (3)若x1=4,记an= 证明数列an成等比数列, 并求数列xn的通项公式.,(1)解 由题可得f(x)=2x, 所以过曲线上点(xn,f(xn)的切线方程为 y-f(xn)=f(xn)(x-xn), 即y-( -4)=2xn(x-xn). 令y=0,得-( -4)=2xn(xn+1-xn). 即 +4=2xnxn+1. 显然xn0,(2)证明(必要性) 若对一切正整数n,有xn+1xn,则x2x1, 而x10,即有x1
11、2. (充分性)若x120,由 用递推关系易得xn0,从而 即xn2(n2). 又x12，xn2 (n1). 即xn+1xn对一切正整数n成立.,(3)证明 所以,数列an成等比数列.,题型四 数列与其它知识的综合应用 【例4】(2009重庆)设m个不全相等的正数a1,a2, am (m7)依次围成一个圆圈. (1)若m=2 009,且a1,a2,a1 005是公差为d的等差数 列,而a1,a2 009,a2 008,a1 006是公比为q=d的等比数 列;数列a1,a2,am的前n项和Sn (nm)满足S3=15, S2 009=S2 007+12a1,求通项an (nm)； (3)若每个数
12、an(nm)是其左右相邻两数平方的等比 中项,求证: ma1a2am.,(1)解 因a1,a2 009,a2 008,a1 006是公比为d的等比数 列,从而a2 009=a1d,a2 008=a1d2. 由S2 009=S2 007+12a1得a2 008+a2 009=12a1, 故a1d2+a1d=12a1,即d2+d=12. 解得d=3,或d=-4(舍去).因此d=3. 又S3=3a1+3d=15.解得a1=2. 从而当n1 005时， an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 而当1 006n2 009时,由a1,a2 009,a2 008,a1 006是 公比为d的等
13、比数列,得an=a1d 2 009-(n-1)=a1d 2 010-n (1 006n2 009).,(2)证明 由题意 由得 由,得a1a2am=(a1a2am)2, 故a1a2am=1. ,下面用反证法证明:m=6k. 若不然,设m=6k+p,其中1p5. 若取p=1,即m=6k+1,则由得am=a6k+1=a1,而由得am 由得 从而a6=a6k=am-1 =1,而 故a1=a2=1,由及可推得an=1(1nm)与题设矛盾. 同理,若p=2,3,4,5均可得an=1(1nm)与题设矛盾, 因此m=6k为6的倍数. 由均值不等式得,又上面三组数内必有一组不相等(否则a1=a2=a3=1,从
14、 而a4=a5=an=1,与题设矛盾),故等号不成立,从而a1 +a2+a66. 又m=6k,由和得 因此由得 6+6(k-1)=6k=m=ma1a2am . 【探究拓展】本题考查了等差数列、等比数列的概 念,分类讨论的思想、方程的思想,反证法,基本不等 式等重要的数学思想方法，难度较大，要求较高.,变式训练4 已知a0,且a1,数列an的前n项和为 Sn,它满足条件 数列bn中,bn=anlg an. (1)求数列bn的前n项和Tn； (2)若对一切nN*都有bnbn+1,求a的取值范围. 解 (1) 当n=1时, 当n2时, an=an (nN*). 此时bn=anlg an=anlg an=nanlg a,Tn=b1+b2+bn =(a+2a2+3a3+nan)lg a 即aun=a2+2a3+nan+1 设un=a+2a2+3a3+nan, (1-a)un=a+a2+a3+an-nan+1,(2)由bnbn+1 nanlg a(n+1)an+1lg a可得 当a1时,由lg a0,可得 (nN*),a1, 对一切nN*都成 立,此时的解为a1. 当0a1时,由lg a0,可得n(n+1)a, (nN*),0a1, 0a 对一切nN*
