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1、福建省福清市校际联盟2018届高三上学期期中考试数学（文）试题（A卷）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】求解函数的定义域可得，求解一元二次不等式可得：，结合并集的定义可得：.本题选择C选项.2. 设复数满足 (为虚数单位),则（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意可得：，则：.本题选择C选项.3. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】二次函数开口向下，对称轴为，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递
2、减，函数的最大值为，函数的最小值为，据此可得函数的值域为.本题选择A选项.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析4. 角的终边与单位圆交于点,则（ ）A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D【解析】由题意结合三角函数的定义可得：，结合二倍角公式有：.本题选择D选项.5. 已知公差不为零的等差数列的首项,成等比数列，则使的前项和取得最小值的的值为（ ）A. 16 B. 17 C. 18 D. 19【答案】B【解析】由题意可得：，即
3、：，结合解方程可得：，数列的通项公式为：，求解不等式可得：，则：，则使的前项和取得最小值的的值为 17.本题选择B选项.6. 已知命题；命题,则判断正确的是（ ）A. 命题“”为真命题 B. 命题“”为真命题C. 命题“”为真命题 D. 命题“”为真命题【答案】A【解析】构造函数，函数是连续函数，且：，则满足，即，命题是真命题，命题是真命题，据此可得：命题“”为真命题命题“”为假命题命题“”为假命题命题“”为假命题本题选择A选项.7. 已知正方形的边长为3，为线段靠近点的三等分点，连接交于，则（ ）A. -9 B. -39 C. -69 D. -89【答案】C【解析】由平面几何的性质可得：，即
4、点为边的中点，则：，则：本题选择C选项.8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则（ ）A. 11 B. -11 C. -35 D. -81【答案】B【解析】由奇函数的性质可得：，则当时，函数的解析式为，结合奇函数的性质可得：，.本题选择B选项.9. 已知为数列前项和，若，且，则（ ）A. 425 B. 428 C. 436 D. 437【答案】A【解析】由数列的递推公式可得：，据此可得数列是周期为的周期数列，则：.本题选择A选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳
5、猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项10. 函数在区间上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】很明显，且，则函数在区间内由两个零点，选项A,B错误；结合，且可排除C选项.本题选择D选项.11. 设，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意结合换底公式可得：，不妨设，利用指数对数互化公式可得：，其中，则，而，据此可得：.本题选择A选项.12. 设定义在上的函数满足任意都有，且时，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，据此有：，即函数是周期为的
6、周期函数，构造新函数，则，则函数是定义域内的增函数，有：，即：，利用函数的周期性可得：，据此可得：.本题选择C选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。第卷（共90分）二、填空题（
7、每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，则_.【答案】【解析】由平面向量的坐标运算法则可得：.14. 记函数的最大值为，最小值为，则_.【答案】【解析】求解函数的导函数有：，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且：，据此可得：，则.15. 已知点满足则的取值范围为_.【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间距离的平方，如虚线所示：考查坐标原点与直线的距离，目标函数的最小值为，考查坐标原点与点的距离，目标函数的最小值为，综上可得，的取值范围为.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法
8、(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义16. 已知单位向量与的夹角为，若，向量与的夹角为，则_.【答案】【解析】计算数量积：，且：，则：，求解关于的方程可得：或(舍去).据此可得：.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合，.（）求集合；（） 若，求的值.【答案】()；()2.【解析】试题分析：(1)求解一元二次不等式可得 ；(2)由题意可得为方程的根,据此分类讨论m=0和m=2两种情况可得.试题解析：() ,()由可得为方程的根,则,解之得或.当,得,此时,故.当,得,此时,故.18. 已知函
9、数.（）求函数的单调区间；（）求函数的值域.【答案】()单调递增区间为,单调递减区间为；().【解析】试题分析：()整理三角函数的解析式可得,结合余弦函数的性质可得函数的单调递增区间为,单调递减区间为.()结合可得,结合()中函数的解析式可得函数的值域为.试题解析：() ,由得,令得,令得,由于,从而可得的单调递增区间为,单调递减区间为.()由于 ,则,则,故函数的值域为.19. 已知函数在处有极值，且其图象在处的切线方程为.（）求函数的解析式；（） 求函数的极值.【答案】()；()在处取得极大值,极大值为2,在处取得极小值,极小值为-2.【解析】试题分析：()利用导函数研究函数的切线，结合题
10、意得到关于实数的方程组，求解方程组可得函数的解析式为.()结合()中函数的解析式可得,结合导函数的符号可得在处取得极大值,极大值为2,在处取得极小值,极小值为-2.试题解析：()当时,由得,故;又,由条件可得,由此可得,解得,从而函数.() ,由可得或,由可得,从而可得下表02+0-0+递增极大值递减极小值递增所以在处取得极大值,极大值为2,在处取得极小值,极小值为-2.20. 如图，点在城的南偏西的方向上，现有一辆汽车在点处沿公路向城直线行驶，公路的走向是城的南偏东.开始时，汽车到的距离为9，汽车前进6到达点时，到的距离缩短了4.（）求的面积；（）汽车还要行驶多远才能到达城.【答案】()；(
11、).【解析】试题分析：()利用余弦定理可求得,结合同角三角函数基本关系有，结合面积公式.()由条件得结合（）的结论有，结合两角和差正余弦公式可得，应用余弦定理，则 ，即汽车还要行驶多远才能到达城.试题解析：()在中，由于，由余弦定理得 ,则，从而.()由条件得，由（）得，则，在中，有正弦定理得，则 .故汽车还要行驶多远才能到达城.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题
12、、近似计算的要求等.21. 已知数列是以2为公差的等差数列，且成等比数列.（）求数列的通项公式及前项和；（）设数列对，有，求.【答案】()，.().【解析】试题分析：()结合题意可得数列的首项，结合数列的通项公式可得，利用前n项和公式可得.()由题意结合()的结论可得，且，裂项求和可得 .试题解析：()由条件可得，即，解得，则数列的通项公式为，.()当时，由得，二式相减，可得，由（）得 ，当时，.从而 .点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的22. 已知（为自然对数的底数）.（）讨论函数的单调性；（）证明： .【答案】()答案见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：()求解导函数可得.分类讨论有：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.()结合()的结论有，两边取对数，得. ，据此有，裂项放缩即可证得题中的结论.试题解析：() 的定义域为，.当时，可得，则在上单调递增.当时，令得，由于在上单调递增，则，得，在上单调递减，当，可得，在上单调递增.()当时，由（）得时，取得最小值，为0，从而，两边取对数，得. 令，则，从而 ，由此得，. - 14 -
