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1、建筑与数学 几何图形,如果说数字的起源是远古人类感知、记录和计算事物“多少”而产生的，那么图形是远古人类感知、描绘和构成事物的形状而产生的。 “大漠孤烟直，长河落日圆”，自然界事物最普遍的基本形状是圆形（或近似圆形），蜂巢的六边形也接近圆形。因为自然因素通常是各向同性的，树干长粗，各方向都能长，所以是圆的，不会长成方的。圆是各向同性的，方就不是，所以自然界几乎没有方形，方是人类的创造。 方的创造与人类的建筑活动有关，方形可以无缝的连续拼接，因为方形的角是直角（90），四个直角可以无缝地拼成全角（360）；立方体既是直角，而且六个面两两平行，可以稳定的无缝的砌筑。,人类是如何发现方的呢？ 观察自
2、然。除了“落日圆”，还有“孤烟直”。 地球上，有一个因素有确定的指向性，就是地球引力（重力），其方向是垂直地面。人类观察到树木垂直生长，手里的东西掉下来，垂直下落，烟往上升等；还观察到水面是平的（所以叫“水平”，也是重力的结果），地面要水平的，桌面也要水平，否则东西放上去要滑动。从垂直、水平就可以逐渐认识到方形平面、立方体和平行表面，自然界有些石头有平行表面（水成岩，也是重力形成的）。,杉树林竖直的树干,水平的湖面,黑格尔说过：“建筑是地球引力的艺术” 建筑物的屋盖形状可以三维变化，丰富多彩，“奇形怪状”；墙体可以在平面上“曲折”，而在竖直方向通常是直立的；当屋顶和墙面合成一体，墙也可以是三维
3、变化的形状。但是建筑物的楼层只能是水平的，人们需要在上面活动。,高层建筑体型再复杂，楼层都必须是水平的。确定水平与垂直，至今仍是建筑行业建造活动中最基本和最重要的工作。,迪拜“舞蹈大楼” 扎哈,阿布扎比 “首都之门”,多伦多“梦露大厦” 马岩松,尼罗河每年一次洪水泛滥促成了古埃及文明的产生。洪水到来时，会淹没两岸农田，洪水退后，又会留下一层厚厚的河泥，形成肥沃的土壤。,洪水退去后，原有的土地界限淤没了，需要重新丈量界定。法老政府按土地征税，也要丈量计算土地面积。这就促使了古埃及几何学的发展。 4500年前建造的建筑史上的奇迹胡夫金字塔，既是工程学的巨大成就，也表现出古埃及几何学的辉煌。,塔高1
4、46.6米，塔身倾角为51度52分，塔底部为边长230米的正方形，边长的误差仅2厘米，直角的误差仅仅12。,几何原本古希腊 欧几里得 最早用公理法则建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神，是从少数的几个原始假定（定义、公设、公理）出发，通过逻辑推理（因为 ，所以 ） ，得出结论。（并可作为新的可接受的命题） 爱因斯坦：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）”。,。,明 徐光启译本,第一个印刷版本,抄写在纸草上的残片,能够无间隙拼连的单一的正多边形只有三种：正三角形、正
5、方形、正六边形。因为它们的内角是360的整分数：360 /12 = 60 , 360 /4 = 90 , 360 /6 = 120 。,胞体几何（Cell Geometry）,六边形在自然界中因为其最接近圆形，是上述三种图形中最符合“经济法则”同样面积，边长最短。,“水立方”（奥运游泳馆）表皮 Skin,尽管每个元泡形状不同，但交点都是三条边相交的“ Y ”形。,镶嵌图形,通过“拉伸”或“压扁”，等腰三角形、长方形、扁六边形，也能以单一个体无间隙镶嵌。,用不同的正多边形来拼铺整个平面，但每一个交叉点周围的正多边形种类和顺序都相同，叫做半正镶嵌图。半正镶嵌图有8种。,4 + 6,3 + 12,4
6、 + 6 + 12,3 + 4 + 6,3 + 6,3 + 6,3 + 4,3 + 4,伊斯兰清真寺装饰图案,12,三角形镶嵌 华盛顿美术馆东馆,三角形镶嵌 旧金山圣玛丽教堂,富勒发明的张力杆件穹窿，直径76 m。三角形金属网状结构组合成一个球体。,蒙特利尔博览会美国馆 富勒 1967,“以最小追求最大。” (Doing the most with the least.) 圆球建筑以“无一定尺寸限制的结构”为概念，不连续的和连续的张力相结合，以最小的材料和最合理的结构、最小的投资创造出最大的内部空间。 富勒说，“评判建筑结构优劣的一个好指标，是遮盖一平方米地面所需要的结构重量。常规墙顶设计中，
7、这数字往往是2500公斤每平方米，但网球格顶设计却可以用4公斤每平方米完成。”,富勒是第一个运用六边形和五边形构成的球形薄壳建筑结构，作成能源耗费极低，强度却很强大的建筑物，后来这种结 构被广泛运用，现代运动的足球，就是运用这个结构所制造。这个结构也协助科学家发现了碳C60，后来被称为 富勒烯。,19,可滚动的多面体住宅 波哥达 哥伦比亚 2009年,美国丹佛机场候机楼,慕尼黑奥林匹克体育场,张拉膜结构,慕尼黑奥林匹克体育场张拉膜结构,张拉膜结构常用肥皂膜来比拟。,埃舍尔的几何艺术,摩里茨科奈里斯埃舍尔 M.C.Escher （1898-1972） 荷兰艺术家。 1922年毕业于Arnhem（
8、阿纳姆）建筑与装饰艺术学院，建筑专业。 埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”。,埃舍尔的镶嵌图形,埃舍尔的镶嵌图形,埃舍尔的镶嵌图形,圆之界限 1959,方之界限 1959,埃舍尔的镶嵌图形,埃舍尔的“迷惑的图画”,埃舍尔“迷惑的图画”,瀑布 1961,埃舍尔“迷惑的图画”,现实 1953,对称 在数学上，将两种状态间通过确定的规则对应起来的关系，称为从一种状态到另一种状态的变换。 如果某一现象（或系统）在某种变换下不改变，则说该现象（或系统）具有该变换所对应的对称性。 圆对过圆心且与圆所在平面垂直的直线具有旋转变换的对称性，并对直径具有镜像反射变换的对称性。 无论怎样复杂的转动都不能把左手转成
9、右手。 围棋盘（方格网，规则网格）具有平移变换的对称性； 图形的角度和长度比具有相似变换的对称性； 以相等的时间间隔平移的对称性，通常称为周期性； 一个静止的物体具有任意时间平移的对称性。 内特尔（Noether)定理：如果运动规律在某一变换下具有对称性，必相应存在一个守恒定律。例如：物理定律不随时间变化，能量就守恒；作用量在空间平移下保持不变，动量就守恒；作用量在空间旋转下保持不变，角动量就守恒；,复合变换下的对称性 左图是以图形的垂直中线作镜像反射变换，并作“黑白颜色互变”变换。,对称是自然界最普遍的形态,对称是人类文明开始的形态,对称是人类文明开始的形态,三星堆和金沙遗址出土的“太阳”器
10、，圆形对称。,对称 庄重、稳定、平衡,对称布局会突出和加强中轴线,拓扑几何“橡皮几何”,以色列的一位城市规划学者在清华建筑学院做讲座，说到老北京的街道都是南北正交，而中东的城市街道弯曲。他讲完，我向同学讲，两者的街道形态在拓扑上“同构”的。每一个交叉口都是两条街道相交。,一个几何图形任意“拉扯”（就像画在橡皮上），只要不发生割裂和粘接，可做任意变形，称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑同构” 。 拓扑几何研究几何图形在一对一连续变换中了不变的性质。不考虑几何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体形状。,此图和上面 两图同构,此图和上面 两图不同构,放射
11、形街道,方格形 街道,上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构 在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。,上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线 在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。,高校教材中国建筑史第五版 P229 “拓扑同构图”,封闭图形的“里”与“外”,封闭围线构成一个封闭图形，如何判别“里”与“外”呢？在图形的“外”部确定一点，这容易判定，只要它离图形足够远。从这一点出发到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“里”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点
12、在“外”。当然首选的出发点在“里”，从此点到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“外”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“里”。也可简述为： 从外到里，从里到外的路径与边界交奇数次；从外到外，从里到里的路径与边界交偶数次。路径可以是曲折的，也可以穿过边界进进出出。 房屋就是封闭图形（体），人流流线就是“路径”，墙是“边界”，墙上的门就是“交点”。,高校教材中国建筑史第五版 P228 “四、同构关系与自然秩序”,莱特设计的三个住宅的平面是拓扑同构的。 参见建筑设计与人文科学,欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。,球和立方体同构
13、，与轮胎不同构。,头颅拓扑比较，看动物的进化。,莫比乌斯带 Mbius Strip 德国数学家莫比乌斯发明,将一个长方形纸条的一端固定，另一端扭转半周后，把两端粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比乌斯带。,用一种颜色，在纸圈上面涂抹，画笔没有越过纸边，却把整个纸圈涂抹成一种颜色，不留下任何空白。或，一个蚂蚁不越出纸边，就可以爬过纸面所有表面。,试验：（1）如果在裁好的一条纸带正中间画一条线（正反两面都画上中线），粘成莫比乌斯带，然后沿中线剪开，把这个圈一分为二，结果会怎样？ （2）在裁好的一条纸带正中间画两条线（三等分带子宽度，正反两面都画上线），粘成莫比乌斯带，然后沿线剪开，结果又会怎样？沿着线
14、剪的时候，要不要剪完一条线，再剪另一条线？,马清运设计的莫比乌斯造型雕塑,扎哈设计的莫比乌斯造型雕塑,莫比乌斯带的建筑造型概念,北京设计院：北京凤凰传媒中心,凤凰传媒中心 北京设计院,55,凤凰传媒中心 北京设计院,UN Studio将莫比乌斯环的概念发展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的莫比乌斯住宅。建筑师以人在一天的活动、位移为主线，运用数字技术，将拓扑学中的莫比乌斯环作为建筑生成的概念。 左图描绘了夫妇两人如何一起生活、分开工作又如何相遇在共享空间。两个人运行自己的轨迹，有时汇合，有时甚至可能会互换角色。这个住宅混合了多种情况，将不同的行为置于一个环形结构之中，工作、家庭生活、独处都能在
15、环形中找到自己的位置。材料（主要是玻璃和混凝土）相互依赖又转换位置，混凝土结构在内部成为家具而立面上的玻璃在内部成为了隔墙。,莫比乌斯住宅 UN Studio,在这幢住宅里，作为垂直交通的楼梯成为莫比乌斯环形成的核心，楼梯扭转了上下层的轴线，形成了全新的空间形式。,莫比乌斯住宅 UN Studio,莫比乌斯住宅 UN Studio,ICA 假日之家 UN Studio 2006,哈萨克斯坦新国家图书馆方案竞赛中，丹麦BIG事务所的设计作品取得了第一名。“设计是将穿越空间与时间的四个世界性经典造型圆形、环形、拱形和圆顶形以莫比乌斯圈的形式融合在了一起。,哈萨克斯坦国家图书馆 BIG,哈萨克斯坦国
16、家图书馆 BIG,哈萨克斯坦国家图书馆 BIG,威尼斯双年展上的莫比乌斯圈 UN Studio,杭州科技馆方案,2010世博会丹麦馆 BIG,2010世博会丹麦馆 BIG,2010世博会丹麦馆 BIG,Klein Bottle,三维空间中的克莱因瓶，没有“内部”和“外部”之分。由德国数学家菲利克斯克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构是，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去。克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，,把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，得到两个莫比乌斯带。,有人说，把克莱因瓶投影到平面上，是
