边缘分布和独立性

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1、边缘分布,随机变量的相互独立性,边缘分布 marginal distribution,二维随机变量 ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,边缘分布 marginal distribution,设二维随机变量 的分布函数为 ，,二维离散型R.v.的边缘分布,如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,即,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,第j列之和,

2、第i行之和,二维离散型R.v.的边缘分布,例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,求关于X、Y的边缘分布,关于Y的边缘分布,解 关于X的边缘分布为,（X，Y）的联合分布列,二维连续型随机变量的边缘分布,关于X的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,例2 设（X, Y）的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数,解,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,解,所以，关于X的边缘分布密度为,所以，关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,边缘分布密度和概率的计算,例3,设（X, Y) 的联合分布密度为,（1）求k值,(2) 求关于X和Y的边缘密度,（3）

3、求概率P(X+Y-1),(2),均匀分布,解,得,当 时,当 时,所以，关于X的边缘 分布密度函数为,续解 ,解,当 时,当 时,所以，关于Y的边缘 分布密度函数为,解 （3）,见课本P59例3,如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布,则两个边缘分布分别服从正态分布,与相关系数 无关,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,随机变量的相互独立性,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，

4、Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,设（X，Y）的概率分布（律）为,判断X、Y是否相互独立。,例1,逐个验证等式,例2 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。,解 （X,Y）的密度函数为,当 时，,所以，关于X的边缘分布密度为,关于X的边缘分布密度为,当 或 时,当 时，,所以，关于Y的边缘分布密度为,关于Y的边缘分布密度为,当 或 时,所以,所以，X与Y不独立。,例3,时,解,于是,同理,所以,即 X 与 Y 独立。,时,习题三 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,15, 16,