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1、第 45题 等差数列I题源探究黄金母题【例1】已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它是首项与公差分别是什么？【答案】这个数列是等差数列，首项为，公差为【解析】当时，当时，也满足上式，数列的通项公式是，由此可知，数列是首项为，公差为的等差数列精彩解读【试题来源】人教A版必修5P44例3【母题评析】本题考查等差数列的判断（证明），考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本运算能力【思路方法】利用定义判断（证明）等差数列II考场精彩真题回放【例2】【2017高考新课标1理4】记为等差数列的前项和若，则的公差为 （ ）A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】解法一：设公
2、差为，联立，解得，故选C解法二：，即，则，即，解得，故选C【例3】【2017高考新课标3理9】等差数列的首项为1，公差不为0若成等比数列，则前6项的和为 （ ）A B C3 D8【答案】A【解析】等差数列的首项为1，公差不为成等比数列，且，解得前6项的和为，故选A【例4】【2017高考浙江6】已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的 （ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当，则，即，反之，所以为充要条件，选C【例5】【2017高考新课标II理15】等差数列的前项和为，则 【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以，解得
3、，所以，【例6】【2017高考北京理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列【答案】（）详见解析；（）详见解析【解析】试题分析：（）分别代入求，观察规律，再证明当时，所以关于单调递减所以，即证明；（）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明试题解析：（）解：，当时，所以关于单调递减所以所以对任意，于是，所以是等差数列（）证明：设数列和的公差分别为，则所以 当时，取正整数，则当时，因此此时，是等差数列当时，对任意，此时，是等差数列当时，当时，有所以 对任意正数，取正整数，故当时
4、，【例7】【2017高考江苏19改编】对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：为等差数列，设其公差为，则，从而，当时，因此等差数列是“数列”（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此当时，当时，由知，将代入，得，其中是等差数列，设其公差为在中，取，则；在中，取，则，数列是等差数列【命题意图】这类题主要考查等差数列的定义、通项公式、前项和及等差数列的性质，等差数列的证明也是考查的热点【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、
5、填空题，也可以是解答题解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等【难点中心】1等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题此外要注意当时，为常数列，是特殊的等差数列，即需要分讨论求解问题2熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，即“巧用性质、整体考虑、减少运算量”III理论基础解题原理一、等差数列的有关概念及公式1定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示用递推公式表示为或2等差数列的通项公式
6、：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列3等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项，其中，成等差数列4等差数列的前和的求和公式：5要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列6注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别二、等差数列的相关性质1等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，
7、则，特殊地，时，则，是的等差中项（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列（7）若数列是等差数列，则仍为等差数列2设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则； ；（）若项数为奇数，设共有项，则(中间项)；3，则，4如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数5若与为等差数列，且前项和分别为与，则6等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值时为递减数列，且当时前项和有最大值IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型
8、上，可以是选择题、填空题，也可以是解答题解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等【技能方法】1等差数列的判断方法：（1）定义法：对于的任意自然数，验证为同一常数；（2）等差中项法：验证都成立；（3）通项公式法：验证；（4）前项和公式法：验证注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列2活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题，注意要弄准它们的值运用方程的思想解等差数列是
9、常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算3特殊设法：三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为这对已知和，求数列各项，运算很方便4若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可5熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率【易错指导】辨明两个易误点（1）要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别（2）等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面
10、：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量V举一反三触类旁通考向1 等差数列的基本量的计算（高频考点）等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第（1）问中，属容易题高考对等差数列基本量计算的考查常有以下三个命题角度：（1）求公差d、项数n或首项a1；（2）求通项或特定项；（3）求前n项和【例1】【2018衡水金卷信息卷（一）】已知等差数列中，则（ ）A B C D0【答案】B【解析】，故选B【例2】【2018陕西咸阳二模】等差数列前项和为，若，是方
11、程的两根，则（ ）A B C D【答案】D【例3】【2018山西榆社高三诊断性模拟考试】在等差数列中，则_【答案】21【解析】由题意，根据等差数列通项公式的性质，可得，所以，故正确答案为21【名师点睛】等差数列基本运算的解题方法（1）等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【跟踪练习】1在等差数列中，已知，则= （ ）A10 B18 C20 D28【答案】C【解析】因为，所以由等差数列的性质，得，所以=，选C2已知等差数
12、列的前项和为，满足，且，则中最大的是（ ）A B C D 【答案】B3【2018广东惠州高三4月模拟】已知数列对任意的有，若，则_【答案】4036【解析】令，可得，则为等差数列，首项和公差均为2，故答案为考向2 等差数列的判定与证明【例4】【2018贵州凯里市第一中学高三下学期黄金卷第三套模拟】已知数列满足，且（）证明：数列是等差数列；（）设数列，求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2） 方法二：由已知，两边除以得，即，又是以为首项，公差为1的等差数列（2）由（I）得 ，故， 故数列的前项和为： 【例5】已知数列an 的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数（1）证明：
13、an2an；（2）是否存在，使得an 为等差数列？并说明理由【解析】（1）证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an（2）由题设知a11，a1a2S11，可得a21由（1）知，a31令2a2a1a3，解得4故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列【名师点睛】（1）判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断（2）用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义【例6】【2018江苏南通一调】若数列同时满足：对于任意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，成等差数列，证明： 是等差数列【答案】（1）是（2）见解析试题解析：（1）当为奇数
