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1、专题五空间平行的证明I题源探究黄金母题【例1】如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证：（1）平面；（2）平面；【解析】（1）分别为的中点，为的中位线，平面，平面，平面（2）分别为的中点为的中位线，平面，平面，平面II考场精彩真题回放【例2】【2016年全国卷】如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（1）证明平面；（2）求四面体的体积.【解析】（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，又，故，四边形为平行四边形，于是因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为取的中点，连结.由得，由得到的距离为，故，所以四面体的体积【例3】【2016年江苏高考】如图，在直三棱柱
2、中，分别为的中点，点F在侧棱上，且 ，.求证：（1）直线平面；（2）平面平面【解析】1）在直三棱柱中，在三角形中，因为分别为的中点，所以，于是又因为平面平面，所以直线平面（2）在直三棱柱中，因为平面，所以又因为，所以平面，因为平面，所以又因为，所以因为直线，所以精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂
3、直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点
4、、垂直关系实施有效的转化III理论基础解题原理考点直线、平面平行的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质如
5、果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行IV题型攻略深度挖掘【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中【技能方法】（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；（2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行；（3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导
6、结论V举一反三触类旁通考向1空间直线与平面平行的证明【例4】【2017宁夏石嘴山三中上期月考】如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，分别是边上的中点，且=（1）求平面；（2）求四棱锥的表面积【解法指导】一般地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化若借助面面平行的性质来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线”来完成【跟踪练习】【2017广东海珠区上期调研】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为和的中点（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积.【解析】（
7、1）作交于，连接.点为的中点，又，四边形为平行四边形，平面，平面，直线平面.考向2空间平面与平面平行的证明【例5】（2016届山西省临汾一中高三3月月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，是四棱锥的高，点分别是的中点（1）求证：平面；（2）求四面体的体积【方法点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题因此，线线平行、线面平行、面面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化证明【跟踪练习】【2016郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，与交于点，点分别在线段上，.（1）求证
8、：平面平面；（2）若平面平面，且，求几何体的体积.【解析】（1）在梯形中，又，在中，平面平面（2）在中，即又平面平面，平面又由（1）知，平面，且在梯形中，的面积，几何体的体积考向3空间垂直与平行综合【例6】【2016太原市高三二模】如图，在多面体中，四边形是正方形，是正三角形， ，.（1）求证：平面；（2）求多面体的体积.（2）在正方形中，又是等边三角形，所以,所以，于是，又，平面，又，平面，于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成.又直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，故多面体的体积为.【名师点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；（2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决【跟踪练习】【2016湖南长郡中学一检】如图，在直角三棱柱中，点是的中点（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值.（2）连接，由题意知，点分别为和的中点，又平面平面平面- 10 -
