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1、第78题 圆锥曲线的离心率问题I题源探究黄金母题【例1】设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为_【解析】椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积；椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积（记忆方法：无论椭圆焦点在哪个轴，总是以椭圆方程中的分母为分母）由拓展，知 精彩解读【试题来源】人教A版选修1-1P35例3改编【母题评析】本题考查椭圆离心率的求法，考查考生的计算能力【思路方法】结合椭圆的简单几何性质、离心率计算公式、两点间斜率公式等解题II考场精彩真题回放【例1】【2017高考浙江卷】椭圆的离心率是（ ）
2、A BC D【答案】B【解析】，选B【例2】【2017高考全国II文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是A B C D【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C【例3】【2017高考全国III卷】已知椭圆C：，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而 ，椭圆的离心率，故选A【例4】【2017高考北京卷】若双曲线的离心率为，则实数m=_【答案】2【解析】，解得【例5】【2017高考全
3、国I卷】已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为_【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，而，所以，点到直线的距离在中，代入计算得，即，由得，【例6】【2017高考天津卷节选】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为（I）求椭圆的离心率【答案】（）【解析】试题分析：（）根据图象分析出， 再结合，求得离心率试题解析：（）设椭圆的离心率为e由已知，可得又由，可得，即又因为，解得所以，椭圆的离心率为【命题意图】这类主要考查椭圆
4、、双曲线的离心率（活期取值范围）能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，大多数难度中等偏易，少数题为压轴题，难度较大【难点中心】椭圆（双曲线）的离心率是双曲线最重要的几何性质，求椭圆（双曲线）的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）III理论基础解题原理在椭圆中有：，；在双曲线中有：，IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，一般
5、以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】1求离心率的方法：（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值2求解离心率的范围的方法（1）借助平面几何图形中的不等关系：根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围（2）借助题目
6、中给出的不等信息：根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解（3）借助函数的值域求解范围：根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围（4）根据椭圆或双曲线自身的性质求范围：在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，P是椭圆上任意一点，则等V举一反三触类旁通考向1 求椭圆的离心率【例1】【2018四川凉山】以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【答案】D【
7、例2】【2018黑龙江大庆】以为中心， 为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为（）A B C D【答案】C【解析】延长与椭圆交于，如图所示：与互相平分，四边形是平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和， ， ， ，故选C【名师点睛】本题考查了椭圆的离心率的求解问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，此类问题解答中熟记椭圆的几何性质和合理转化条件是解答的关键【例3】【2018吉林辽源】已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P是椭圆上的一点， 轴，若，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D【答案】A【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其
8、关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a， b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等【例4】已知椭圆E： 的短轴的两个端点分别为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为，则椭圆的离心率为()A B C D【答案】A【解析】设C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，b)，则故，又kACkBC，故a24b2，c2a2b23b2，因此e，故选A【跟踪练习】1已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1，F2，M是椭圆C上的一点，且满足，则椭圆C的离心率e等于()A B C D【答案】D设
9、x，则2x在RtMF1N中，4x2c2x2，即3x22c2，而x2，所以a22c2，即e2，所以e，故选D【名师点睛】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用关于原点对称， 为椭圆上三点)2如图，在平面直角坐标系中，已知，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点若，则椭圆的离心率是 【答案】 3焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为考向2 求双曲线的离心率【例5】【2018安徽东至】已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线的第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲
10、线的离心率为( )A B C D【答案】C【解析】由题意，过双曲线右焦点的直线，代入双曲线，可得，故选C【例6】【2018江西南康模拟】若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )A B C D【答案】B【例7】【2018四川成都七中高三上学期一诊】已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则（）A1 B C2 D【答案】C【解析】双曲线的，双曲线的渐近线方程为与圆联立，解得，与双曲线方程联立，解得，即为，直线与直线平行时，既有，即，既有， ，即 ，故选C【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单
11、性质求双曲线的离心率、双曲线的渐近线，属于难题求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系求与离心率有关的问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式【例8】【2017河北邯郸】如图，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线代入双曲线
12、方程中即可得出点的坐标，再由矩形的几何性质可得，最后可得出所求的结果其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质【跟踪练习】1【2018陕西宝鸡】已知双曲线的两条渐近线均与圆 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】圆 ，所以 ，选D2【2018山东单县五中】如图，已知过双曲线的右顶点作一个圆，该圆与其渐近线交于点，若， ，则该双曲线的离心率为_【答案】【名师点睛】本题考查双曲线的性质，主要是离心率的求法，考查垂径定理、正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题3【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次考试】已知点是抛物线的
13、对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|，|PA|=m|PN|，则，设PA的倾斜角为，则sin，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx1，代入，可得=4(kx1)，即4kx+4=0，=1616=0，k=1，P(2，1)，双曲线的实轴长为PAPB=2 所以双曲线的离心率为【名师点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合
14、思想，属于中档题4【2018江苏启东中学高三上学期第二次月考】在平面直角坐标系中，若双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为_【答案】 5在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2【解析】由题意得，解得6【2018河南南阳模拟】是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_【答案】【解析】设椭圆中的基本量为，双曲线中的基本量为，由圆锥曲线中焦三角形的面积公式得到C=，的离心率是7【2018北京海淀区模拟】已知，如图， ，图中的一系列圆是圆心分别为， 的两组同心圆，每组同心圆的半径依次为， ， ，按“加”依次递增，点是某两圆的一个交点，设：以，为焦点，且过点的椭圆为；以，为焦点，且过点的双曲线为，则（）双曲线离心率_（）若以为轴正方向，线段中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则椭圆方程为_（3）双
