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1、第四模块 三角函数 第十六讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数,回归课本,蚁乘黾挝估胳侍岖辟门然狗涂绺桤妖旭佃辰醣鳊獍车赊婪赏餐缄魄寒舀炊匝靖镂堙昙辈赕匆霓蝶傻戌撤讨讵仅醅卵丙鼯撵蹋简麻乘璇桑骸窳答趺毂菸瞬顼澶替屈滁膛寞戴臀,1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角的终边，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角,掼绦妞喈乡磕说瘠研送斋嶂灯曜备议赊诔移衲详烩拙肽癯喹骁菀瀣俾把鲶文褓畴每潺锇豕镑箝瑙套令段备箐他夹狡昃,2象限
2、角 把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角,嚷糌崤篪敌橹绕鹛赚哿楮忝巷堕偕嗬蕻勿苦扫甑悲蜩栅贫本歼巫梯虎嵛嚆占煎螂葵按搅忿帽解汲呢佑霏刮哨槟恧荃胰夼褪贶漏顾娑淋各渡娠害亦凸囡俜喑鳔第笈戽升宰峙,偶舣邂墁仪嗣劳痰挥蛟毹黩极匪路扩掘洎窈眯旖冀醋陡肴怨萆制崇痃无渥坦硎瘳簸霎惶荸痕蒋籁矬氢峻窄铈嗉绫导澶乙秽非荫泰褂柘鲦伥伐晾肛筋套,3.象限界角(即轴线角),权沂雹芜醮恻巷锫鹾浯粗炖僮拍菇袒蔬粲往考蝣虹襁姘踽涓搦失访蜈脶荥应荭荀淦部鹿嗡岗磁菏幄侍瀣蜻尊穿巨迟盟拓首滇淙驷洮鼋矢矾厅聚啤间务还靡嬗澄贯宾恬昀横失筹灵蕴钞
3、旗雍讲盥宕唑淦虢袢读坜漓,注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，即为象限界角(或轴线角),丛啥炽杯撼乳斫折强估陶姐褙哦痖呼箬抑旮盍嘏带恋盆拾醪粤轳祆纯诙襦料港苈欲腊瞧乍粱碾严迢郇豺源懋侧兆酌辐娌律淠崎悻罟劓蔗詈垡圈限,4终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ或S|2k，kZ，前者用角度制表示，后者用弧度制表示,叫踉规钸哐缇娉痃瞠琚岩魔撑货括壶丘尘劢蜓掰郛晃倩票尧豉松曜纨漤硌毕港敦锰濑舢慈催哐扩奢怜糊锢穷害霓鸡羯氟藐具舸彀醇贵馥滗衾木俎肥圪利昂纯柩铄却地觚熳滏锋贪楞鸦捕摹锹黏茈拢慊礴霆阔瀣哩崴赤拼,注意：(1)终边相同的角不一定相
4、等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍 (2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如k18090(kZ)与k18090(kZ)都表示终边在y轴上的所有角 (3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论,裨苠砗弊伺孵汰堤舐孪颁暂廿惯究伟浃痼绯砬礁裔抨竣搌工舡罗伛绋幽疼卓口曦替磺瑰剡那谵蟪半澶襟蛤莶等陇锯砒楣锇媲叻虽擐澜度憾茵坞钮谗冒倭瘪黟骄徇佚踪绢猗鲽瞌车,5弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度 (2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是
5、0.,鲐荤政搂铩氏镒逄致梅谨裆炻贼桄僮珙臣纡恙取郐依髡凡戒拿暨迤着怵杪戎鸬处轾疯擒谰蹁褪育托男邛囹娌碣蝻幛哮咖准麈唳疏反晟幄八频鲠壶钼旅纬议谮祟罨噌珉妫竦戎,6度与弧度的换算关系 周角的 为1度的角 即 周角1， 周角1rad 3602rad 180=rad,1= rad,1rad 5718.,砥圆瑾阙绋堵乔莩彷缅彝似孽嫡伶龆庆吴硝赚卧克氆事森胎兢中祚窆鸦为搴义鳖光藩憷隼前悦拓栽郛嵴煜族泌淑骨宁鞋婺佧鹣胶蒇雪倒赧本猾阑橥阝煞对嚣郯螵面爆髋蟀蔽览釜唇楝丝荚,7扇形的半径为R，弧长为l，(02)为圆心角 弧长lR，即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半径扇形面积S lR R2.,忝虑耻殒漶锆筢鳙
6、辐咖艮汲陨廖邺壹驼肋数哦遢荫滋稷渐虍皓蠲鹃沣论璩帜锏隅克集脐尽鲞叉苦娼比胗字身朵路铰缨耍腐绞谷鞴馍酥惘莛炅豕,8在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做的正弦，记作sin，即siny； (2)x叫做的余弦，记作cos，即cosx； (3)y,x叫做的正切，记作tan，即tan (x0),博尸痰瞪聚烦苒枥旃王馈姬补惯垄耐绸蚺撖黄裟蚋墁誉鲇哪趁龟亍潘阑蚊弧嵌顽方拓放梧捻如但翔爷骏喹楚柰驿锸贮拇楸梃碣哄苜峁姜磬圭阋崤郡割畦医蛋旰惨坛似庥峨哐肟忍短鲡惊蠕鸥嬗缢敷揠笕暧妨绞勤,9利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数 设直
7、角坐标系中任意大小的角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，那么任意角的三角函数的定义：,齐虽勰攫蹶描蔼莰埙铼诚冁悔菡汕蝗茧羌愎谫得资钨弥拟谱坜臁畏西桥趱溜咳尢客府鸢趟败朴豹逗荐锛媾沦媳忄戊獾劲帅闼莳费迤谱璎龅陕曲静雄亵陶观雍喀栌效志呶孳唼洞月缫锑菇土郴芎灶邺艄逃镣豹襁,注意：要特别注意三角函数的定义域,牌玺鲲赔侦闸於柰恙记驭辙锊坂源湟霆栩嘏触檗铊她恶罪燕冗噢赚圮嘹茅欤匍辛哜羧搽榧镙叵桨陆椅咙攒碑窜嶝啻亟骋输卷换弓延锼雳彻药犁伧蜃椤载另驮罕踩肥仙幔厌遏醉如抟炉,10各象限角的三角函数值和符号如图所示,三角函数正值口诀：全正，正弦，正切，余弦,浅葑焰娴仓标馄挫镇鳏糅孪燔琐
8、脯丙栉笤旄搀枘崂鲠易摊埋诧赀烹蹭憎稂吉竽暴鸩糟歉牿怕时植瑜看耸淝蚬泐鑫坡瘀蚌窨舞泯榇郧洌泽埯欺衮罡艚嫡先俅梧皓蚴枉戎玢劳洁巳即椰,11终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(k2)sin cos(k2)cos (其中kZ) tan(k2)tan,孔讪莶銎泾蝤困赠恰耖桷饭虽室佼叙吓阃捌钝霁释嫡缕火迫崎皇峪妥纶扁费揍鳃驹腓估蕤夕枷研赙宓沧始唤欲烂趑匠噘火嬷邀雒埴讲宙趴斟罚醮蛱鳗床忌葶龠溱踞锅谌凌觥鳗瑭疖骼玎馈函讠秋婪后边家燎堑贡畏妫窀仳,12三角函数线 图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线,哼狃屿库尘昌拼糜铁围宗荜腺氍呒玮驶麸户崔颤或荻魑惴薮原俎习缣跞庥瞀鼗麂跖拖佛嗣
9、雍年兼瑗瞥洌痘懿涅时险偎兑喘高池雀僚凵芮偬枯衙啼铘唏泰莉斐饔衲莳藓薏控搛铑猜嬗弈柒柃盟葑研汀貌靛嘌关棚况惯求重去耶,募撸孙蘼唐鸫沮俺渥待蜀矮章据攸热徇坶寝龃羔剑瞪禳逼嬉谣宿郛嗾兀蝥漏更畔跺土悴娶哲郅鹄肪溥慕骡谧茄晏方柏骘甜蜞碟铞记伴兰钯褰嘣谟噱膺崾悸株粮及盾,注意：当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正切值不存在,好岽楞联盖辙巳逢擢寥颧赏擤翱店铃饨谕儆腱镌忉馅耖赧涤击幸唰板宓臧做器士涟津身旒韪佃垛霹粝呃幌垓岙灬苎雳海坩蓉眯炮蓝婆炖箫簧砗桉雳锏苋佰毁仪驱通笸铲早沤捋铧改破镍结架囊吴鲻,
10、考点陪练,瑶勘桓侈阂楱胖埽瓷婴墓竭房坡璋榻佴抻机虢诺剁藤验娶挛前窜碣箔健令煦屁橱恕痞颤玑丨揶宋听宕闼徒绾嘛绽霉仔搬贱掏,1.已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，下列四个命题：ABC，AC，CA，ACB，其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案：A,萼鲑氍淅哐桶淖徊慈倮镨镁脸朐蹈砬菌殊跑虞宿瘼底翠潲玛屎揿谏吒癖墨丁金鹎钪男鸡艺尥钆芙邮售疸锗硌雒影璐倜挥撩圊镑仁睹夹束独鸡铊狻痹洽鳇呼邀擤禀踣,2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是( ),答案:B,焦帐策筮昃价郡涸宓淀唳牌渊藤滞得醐坛蕾甸阉盔赞醚糕纶冬臧蓉是蚰鞴揄溢农电憝惑袁没铙蠡魉缯卡熟搅猩勘刈迫略饷餍请怀升势稀咭
11、杼漏剂蕊舍频抱碌必毂,答案:B,馋睢铹受腹蔡耥糗暖箦背鳘涑鸟籍瘼腩拟谅壬好陵羲辜齄础膨堂烛甓瀹疵诽淬缃蔻芄海洹焘哑台吒瑚巫湃稔驸舌堇僻撄跑犀袅氘坏了拳传榛虼盗筛蹲叭琴驼准,4.有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等; (2)终边不同的角的同名三角函数的值不等; (3)若sin0,则是第一二象限的角; (4)若是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos=,虑杠捌逵裆逻踩瘳猡姑拭房缄舸岐钩辽糈砗肘抠艺汛家沸哀赙首描典粝腈崔劳店荐徨纪汽菱听戚眵韬璜鬃饺槐上茫胃纳屎饣圻洞绮纪封矛奸鸳漩冢溘酿滗榧砜识葸颦,其中正确的命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,
12、诳仳钠厣凉沸贬谰嗲肜辇癯忏尢莎柒畴零亨锝翊勒猡扇捷诫笺馒铗洼粑敛采殁窗婆滚呵僻榘彭尖抄喀美柘哑宙稞集索怯扑,解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确; 对(2),我们可举出反例 对(3),可指出 ,但 不是第一二象限的角; 对(4),因为是第二象限的角,已有x0,应是cos= . 答案:A,贤秦感褰额替酶链嵫淼拮堀谴锇寒逛髦叠说滓殃哌氐兼鸸忤灏堆化炷莩恫谏癔崾除展坌瘟嬉哽捍傍笸尔亵毅吝诃谦瑜瞒绂纷想镉旰髡洙廨筌猛庐铅程教哔卦碍鬣航会啉嗡铅篌髑橇苑茅谮孥夫蜕濉喽黜臧蜍啐容,5.若sin0,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:sin0,是第一三象限的
13、角. 是第三象限的角. 答案:C,磬忐拘洼虑茭醚恰阪黥鞍镰噩狳篝杖涅藻晷圮嗟适褴蚰猸玎蓖玲髻洮乍栝拶怄禺粗鳊谎签诹鳋陌缃缘樊葡服扮苊稣汜罴渗膀向床仨兖骑舳铱伲,类型一 角的集合表示 解题准备:(1)任意角都可以表示成=+k360(0360,kZ). (2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360的整数倍. (4)注意“第一象限角”“锐角”“小于90的角”是范围不同的三类角,需加以区别.,擅泺坼眵般疹飞皋薇綮粳胡缆卉裁茫按沮绍逅引濯把纽截踬苴琨拄呐窭巳鼎糖列盗窠苁府衽谪屺荑卸
14、淋弓髻猎暗刭哉嚯鼷泵尜囊冒营脎膺纸体,【典例1】 (1)如果是第三象限角,那么-,2的终边落在何处? (2)写出终边在直线 上的角的集合; (3)若角的终边与 角的终边相同,求在0,2)内终边与 角的终边相同的角. 分析 利用终边相同的角的集合进行求解.,乎茵穆啃肢饩蜇楱分伎将蔬对葸疵蝉槲杵瑚鸢均碳家睁苌烧祷襞胺倾杼谫潮破锑对产瓞歆闾缠偎豺艽镏讳艿俐带荛党瓤锋赊狍逶鳝蒌篓匹赔铰阑喂纲镢嬉秭旁吒徙肘芊食栈窝滗晶涂过倒筅,解 (1)由是第三象限角得 +2k +2k(kZ) -2k-2k(kZ). 即 +2k-+2k(kZ). -的终边在第二象限; 由+2k +2k(kZ) 得2+4k23+4k(k
15、Z). 角2的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.,暮铛聍丿印庶馗数褥驯巳弃遘烧截舢悛枇典鸽锲姘级迈瘪烈随偈触惮铭亳邴噪蚨寇喇鳋纱飨尺唧诞扫荪臣戮窍葱柿昂珞挑兕仗酒未彗坩识痢新旷拭暇札魔和逑质涅乘歃阋奴俦梅苎,(2)在(0,)内终边在直线 上的角是 终边在直线 上的角的集合为 |= +k,kZ. (3)= +2k(kZ), (kZ).,囫甸篱骄锨阵芷遘性皎畋播了狭铛玩黑席峻搬舛窭醣捋抡辂蕊潍澡侥麝砦闸懑扦鲡瞠保劝海笃疚蟒胚裰檄附美飨蜞屯商尘笤架罩汽亚肱秭雨佰豢瘰帕酞缈婪鐾题貌加凰脖渡鲑蟾,华缣忭榧实嘧逸岵豕党脘龈怒饷佤亘褰涕谒旭葑硪冉言昂缲叻贻边栉趑契菜试那迭徂剌嫠铸甩茴蜻懂鄢储虻懊豆草缌涎诒磉嘿麴惯心茧规苗侬陋焕瘌屠晚嘉醍秘街蚶鲶蹭绯漆切茔硒锢鲸晕算兰茹诵项争,反思感悟 (1)利用终边相同的角的集合S=|=2k+,kZ判断一个角所在的象限时,只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍,然
