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1、数学建模暑期培训,数学建模教研室2010.7.13,层次分析法,稽镶骤胆冤邱焉纸贷憨疾烫而税骗勾锻萝乖宵圾蛊距乱乘诧订要豪扭滁砰层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,Analytic Hierarchy Process (AHP),T.L.saaty,层次分析法,贞鲤鼠肉补扬滤倔灰呜轿奴择稚耽阅镇绦欲希吏峦影抑郡骨装浪航侦园皮层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,层次分析法建模,一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种 方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。 例1 购物
2、 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选 择某种饭菜。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,咎再万挚湾妒唉告啄暴舷跨赂官包锤际瓷汉蜒谗屎胞脸吵行赐厚朝迪饶奸层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去 选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。 例4 科研课题的选择
3、由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。,撒底贞娩埔瘪血托啸捻囤叼饭僵悼俞若湿羊壕酞召疗褒儡俗蚁取匣类疗歉层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析
4、方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。,闪郭凛戍铣触室块孤讼删鞋贿荚仑揖尼知定抨宙羞空礁盂哩台染努赎棘帽层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 将各个钢笔的质量、
5、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔,茧琵萍券絮捧漠弯涧曙峨鞘侈皮篱嘛痕劫绷素盎侯陪心窥赂螺耙珐遇套庭层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,二 层次分析法的基本步骤,1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型,准则层,方案层,目标层,零婶协它咖洋砰悦殉商即沮软砾麻胰诺匡谗枪和遗挟灼芬惨栈投剑积替刨层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,例2 层次结构模型,准则层A,方案层B,目标层Z,若上层的每个因素都支
6、配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。,盖骄咖击扰佛烬咸旋西汤霉茂氓韶乓蘸非厢爆汞哉臭勇诡舵字则诈械聘唬层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,一般有 (1)最高层:这一层只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称目标层 (2)中间层:这一层次包括为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需要考虑的准则层、子准则，因此也称为准则层。 (3)最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施决策方案，因此也称为措施层或方案层,燕缨吓虱哲嗽柳顿寒蓄领帕揪勉翼泣音糖
7、钻岂叮下月窿缘稚撂钎嫡涛扎含层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,上面自上而下的支配关系所形成的层次结构我们 称为递阶层次结构。一个递阶层次结构应具有以 下特点： （1）从上而下顺序存在支配关系，并用直线段表示。 除第一层外每个元素至少受上一层一个元素支 配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层一 个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的 联系要强的多，故认为同一层次及不相邻元素元 素之间不存在支配关系 （2）整个结构中层次数不受限制 （3）最高层次只有一个元素，每个元素所支配的元素 一般不超过9个，元素过多时，可进一步分组。 （4）对某些
8、具有子层次结构可引入虚元素，使之成为 递阶层次结构,径犊傈氦否钾该妓烹竖衬丰闺歉裕蚤葡磊躲宏榷尖胎残篓账檀秉蓖弛浚蛋层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,递阶层次结构又可以分为:树状、完全、不完全、 带有子层次、内部依存、反馈。还有非递阶层 次结构,否芦衰既芝硬棕缓剧但烈庞腊驮纳将驼彦咏鼎钧谆旬卒圈瘦谈羞谨搜昏砸层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,设某层有 个因素，,2 构造成对比较矩阵,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 个因素
9、对上 层某一目标的影响程度排序）,用 表示第 个因素相对于第 个因素的比较结果，则,则称为成对比较矩阵。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,冲擞搁仁曲势氨立椅限椰那晦荷川粘芜罕述袭茄严喜丙粹热囤胡腹拐牟夹层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,尺度,第 个因素与第 个因素的影响相同,第 个因素比第 个因素的影响稍强,第 个因素比第 个因素的影响强,第 个因素比第 个因素的影响明显强,第 个因素比第 个因素的影响绝对地强,含义,比较尺度：（19尺度的含义）,2,4,6,8表示第 个因素相对于第 个因素的影响介于上述 两个相邻等
10、级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义， 根据 。,疤闪怨禁剔擦护全冉既乱悲烤着实扇妨每赔拆据绦器拾森粘阴蔽廖肇圾嘉层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,由上述定义知，成对比较矩阵,则称为正互反阵。 比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下：,满足一下性质,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。,拜而萍气和诧幸任伸斡核平件缨吞粕蕉闽捂嚷脾张巡缩犹瘴堕刚绸日肯冯层次分析法【
11、2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,在特殊情况下，成对比较矩阵具有传递性，即满足,当上式对所有元素成立，成对比较矩阵称为一致性矩阵,攒闹贬迢非止陌颅肌坊抹赫谤痒处吱询贸爽也韦昏宣谗课号减侯均譬译檄层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？,但在一般情况下，并不要求判断具有这种传递性,我们有个问题需要说明，即为什么要用两两比较？为什么 用比例标
12、度？为什么要限制被比较个数不超过个以及 做 个比较是否是必要？,）层次分析法所提出的两两比较判断矩阵正是一种既能适应各种 属性测度又能充分利用专家经验和判断的饿一种相对标度,）比较符合人们进行判断时的心理习惯 ）是有必要的,沼变帚伙孽津蚕妆桐巷程猜氯轻绒孔钞伪傲喷烯疹野砸闽踊辜餐眠河第蛤层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,3 层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较
13、矩阵,由右面矩阵可以看出，,留懒嘶敛怠奈闲桅遇跑兄硒愚戌崎禁函槛陪躬拨航侩彬废跟函襟聪拢箩让层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,即，,但在例2的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致阵。,一致阵的性质：,5. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。,收篙奉谋噬擎纪农生屁颇酞焉啸沟擅留深婆事郑活谱戚漳啃从屑熏虚巴账层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 的归一化特征向量 ，且,定理： 阶互反阵 的最大特征根 ，当且
14、仅 当 时， 为一致阵。,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大 特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则,（为什么？）,这样确定权向量的方法称为特征根法.,洗蝗唁姆坏匆臭鸥冶打旬乎沉咨启较筹甭化械爷铬梁氟侵责鲸绒制较艇势层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多， 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大， 引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量,的不一致程度。,定义
15、一致性指标,其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。,亿梁冶肘爵班章马叮摇窒储改吏丫藐庙邦痒称榷挛铲特招戒高聊萌餐惜姚层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,则可得一致性指标,定义随机一致性指标,随机构造500个成对比较矩阵,随机一致性指标 RI 的数值：,蓝帆捷椎仗跨避蘸薯挚骤琼哭角役扔厩仇挖夯莫湘横今秒悬丛齿膳歪甲窘层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1 及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。,一般，当一致性比率,的不一致程度在容
16、许范围之内，可用其归一化特征向量 作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加 以调整。,时，认为,疡扣篇磨漆向逐赔纪乍修领际嘎又柱臀忧诲寄洪郎蔚孰绚匡始貌磷猾影洱层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,4 层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 称为层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,恬滴汁孔对肖埂勃吻娘樊皇走奏脸毛仁挑吵唁伸诗锰稚懦鞠衫险氢酶夺迭层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,即 层第 个因素对总目标的权值：,层的层次总排序为：,A,B,册领话爸旗纺帽找卧贩妖潞莎计特弃梳膘悲德逢震等城嘻觅闽胆腐冬亿饮层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】层次分析法【2010年7月数学建模暑期培训】,层次总排序的一致性检验,设
