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1、1,第2章 偏微分方程 2.1引言,2,方程的阶数：方程中出现的偏导数的最高阶数。 线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。 非线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。 拟线性方程：在非线性方程中，若仅对未知函数的所有最高阶导数是线性的。,3,自由项：在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项。 齐次方程：自由项为零。 非齐次方程：自由项不为零。,一阶、线性、非齐次,二阶、拟线性、齐次,二阶、非线性、非齐次,4,5,结论：,偏微分方程的通解包含有任意函数，或者说其通解形式是不确定的。 因此解偏微分方
2、程，一般不是先求通解，后由定解条件确定特解（只有少数情况例外），而是直接求特解。 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，它可以有很多不同形式的特解。所以可称为泛定方程。,6,2.2二阶偏微分方程的分类,7,8,9,10,2.3 基本方程的导出,泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。 微元法：先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。,一、弦的横振动方程,几个条件：,均匀细绳：为常数，作为一维空间来处理（细绳）； 轻绳：忽略重力影响； 柔软：横截面方向上无应力（无
3、切变力），张力沿弦切线； 微小振动：弦切线与x轴夹角0或； 横向振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向.,11,设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平面振动.,由于是微振动：,12,根据牛顿第二定律：,13,弦的自由横振动方程,或写成：,14,受迫振动情况：,力密度F (x,t)：单位长度的弦所受的横向外力.,15,单位质量的弦所受的横向外力,16,（二）热传导方程,热传导：由于温度不均匀，热量从温度高向温度低的地方转移. 热流通量：单位时间内通过单位横截面积的热量. 实验结果：,哈密顿算符,k导热系数,17,为系统（x,y,z）点在t时的温度,单位时间沿x方向流入小六面体的热量：,单位时间
4、沿x方向流出小六面体的热量：,单位时间沿x方向净流入小六面体的热量：,18,同理，单位时间内沿y, z方向净流入小六面体的热量分别是：,单位时间内沿x, y, z方向净流入小六面体的总热量分别是:,19,单位时间内小六面体热量的增加是:,在各向同性条件下：,20,温度传导系数,或写成：,热传导方程,一维空间：,二维空间：,21,讨论： 1、有热源存在情况下. 热源强度F (x,y,z,t)：单位时间单位体积热源放出的热量。,f 0称为热源，f 0称为热汇.,22,2、稳定的温度分布.,泊松方程,拉普拉斯方程（f = 0）,23,2.4 数理方程的定解条件,一、初始条件,初始条件：给出某一初始时
5、刻整个系统的已知条件,1、传递过程（扩散、热传导）,热传导（扩散）问题只须给出整个系统的初始温度（浓度）分布，而振动问题必须给出整个系统的初始位移何初始速度。,2、振动过程（弦、杆的振动）,从数学上来看，振动方程中u对时间求二次导数，而传递问题中u或N只对时间一次导数。,24,（二）边界条件,边界条件：给出系统的边界在各个时刻的已知状态,1、第一类边界条件：给出边界上u的值，,1）弦的横振动,两端固定,x = 0端位移状态已知,2）杆的热传导,两端处于恒温uo,两端的温度变化已知,总之，这类边界条件直接规定了边界上的数值（可以是随时间变化的数值）.,25,2、第二类边界条件：给出边界上u的梯度
6、值，,1）杆的纵振动（两端自由）,2）杆的热传导（两端绝热）,x = 0，单位时间内流出小薄层的热量为：,26,合并写成：,杆的热传导（两端有热流强度为f (t)的热流流出）,在x = 0 端,27,在x = l 端,合并写成：,3、第三类边界条件：,在这类边界条件，即不直接规定边界上的数值，也不直接规定边界上法向导数的数值，而是规定它们之间的某个线性关系。,28,杆的热传导（两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换）,牛顿冷却定律：单位时间内通过单位横截面积与外界热交换流出的热量为 ， H 牛顿冷却系数， u 系统边界的温度， 外界的温度.,在x = 0 端,将热流强度f (t)写成牛顿冷却定律:,29,在x = l 端,合并写成：,齐次的边界条件,给出的上述的值为零，则称为是齐次的边条件，即f (t) =0.,30,31,32,数学物理定解问题的适定性,(1) 解的存在性,看所归结出来的定解问题是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一个解,(3) 解的稳定性,当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时， 解是否相应地只有微小的变化量,定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.,33,34,
