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1、生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小,钢管和易拉罐下料,原材料下料问题,按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大,一. 钢管下料,原料钢管: 每根 19 米,4米50根,6米20根,8米15 根,问题 1. 如何下料最节省 ?,问题 2. 客户增加需求：,（切割模式、节省标准）,切割模式,按照客户需要在一根原料钢管 上安排切割的成品钢管的组合。,合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸,问题 1,7 种合理切割模式,为满足客户需要，按照哪几种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？,问题 1,2. 所用原料钢管总根数最少,1. 原料钢管总余料最少
2、,两种节省标准,当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标,决策变量,xi 按第 i 种模式切割的原料钢管根数( i = 1, ,7 ),目标 1（总余料）,问题 1,约束条件,按模式 2 切割 12 根,按模式 5 切割 15 根，余料 27 米,最优解：x2=12 , x5=15 , 其余为 0 最优值：27,整数要求： xi 为非负整数,满足需求,问题 1,目标 2（总根数）,约束条件不变,最优解：x2 = 15, x5 = 5, x7 = 5, 其余为 0 最优值：25,xi 为非负整数,按模式 2 切割 15 根，按模式 5 切割 5 根，按模式 7 切割 5 根，共 25 根，余料
3、35 米,与目标 1 的结果 “共切割 27 根，余料 27 米” 相比，虽然余料增加了 8 米，但减少了 2 根，当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标 。,问题 1,对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式,增加一种需求：5 米 10 根,现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。,决策变量,xi 按第 i 种模式切割的原料钢管根数 ( i = 1 , 2 , 3),r1i , r2i , r3i , r4i 在第 i 种模式下，每根原料钢管切 割 4 米、5 米、6 米和 8 米长钢管的数量,若采用不同切割模式太多，会增加生产和
4、管理成本，规定切割模式不能超过 3 种。,问题 2,满足需求,合理模式：每根余料不超过 3 米,整数非线性规划模型,目标函数（总根数）,约束条件,整数约束：xi , r1i , r2i , r3i , r4i (i = 1 , 2 , 3)为非负整数,问题 2,增加约束，缩小可行域，便于求解。,需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根,每根原料钢管长19米,原料钢管总根数下界,特殊生产计划：原料钢管总根数上界 31 = 13+10+8,增加约束,问题 2,模式1：切割4根4米钢管，需13根； 模式2：切割1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3：切割2根8米钢管，需8根。,LIN
5、GO求解整数非线性规划模型,Local optimal solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.0000
6、00 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000,模式3：每根原料钢管切割成 2根8米钢管，共8根,模式1：每根原料钢管切割成 3根4米和1根6米钢管, 共10根,模式2：每根原料钢管切割成 2根4米、1根5米和1根6米钢管，共10根,原料钢管总根数为28根,问题 2,二. 易拉罐下料,板材规格 1:正方形 边长 24 cm 5 万张,板材规格 2： 长方形，
7、32 28 cm 2 万张,罐身高10 cm，上盖、下底直径均 5cm,每只易拉罐利润0.10元，原料余料损失0.001元 / cm2（不能装配的罐身、盖、底也是余料）,如何安排每周生产？,易拉罐下料,每周工作40小时,计算各种模式下的余料损失,模式 1,上、下底直径d = 5cm， 罐身高 h=10cm，周长 d = 15.71cm,余料损失 242- 10 d 2/ 4 - d h = 222.6 cm2,问题分析,易拉罐利润扣除余料损失后的净利润最大,目标:,（不能装配的罐身、上下底也是余料）,易拉罐下料,罐身和底、盖的配套组装,决策变量,xi 按照第 i 种模式生产的张数(i = 1,
8、 2, 3, 4); y1 一周生产的易拉罐个数； y2 不配套的罐身个数； y3 不配套的底、盖个数。,模型建立,约束：,每周工作时间不超过40小时,原料数量：规格1（模式13）5万张 规格2（模式4）2万张,易拉罐下料,目标,约束条件,时间约束,原料约束,y1 易拉罐个数；y2 不配套的罐身个数； y3 不配套的底、盖个数。,每只易拉罐利润0.10元 余料损失0.001元 / cm2,罐身面积 dh=157.1 cm2 底盖面积 d2/4=19.6 cm2,(40小时),易拉罐下料,配套约束,虽然 xi 和 y1，y2，y3 应是整数，但是因生产量很大，可以把它们看成实数，从而用线性规划模
9、型处理 。,y1 易拉罐个数；y2 不配套的罐身个数； y3 不配套的底、盖个数。,易拉罐下料,变量非负,将所有决策变量扩大10000倍（xi 万张，yi 万件）,LINDO发出警告信息：“数据之间的数量级差别太大，建议进行预处理，缩小数据之间的差别”,模式2生产40125张 模式3生产3750张 模式4生产20000张 共生产易拉罐160250个 (罐身和底、盖无剩余) 净利润为4298元,模型求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.4298337 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 16.025000 0.000000 X1 0.000000 0.000050 X2 4.012500 0.000000 X3 0.375000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.223331 Y3 0.000000 0.036484,易拉罐下料,下料问题的建模,确定下料模式,构造优化模型,若规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用缩小可行域的方法进行化简，但要保证最优解的存在。,一维问题（如钢管下料）,二维问题（如易拉罐下料）,具体问题具体分析（比较复杂 ）,
