《微积分第七章无穷级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分第七章无穷级数（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第七章 无穷级数,7.1 无穷级数的概念 7. 2 无穷级数的基本性质 7.3 正项级数 7.4 任意项级数,绝对收敛 7.5 幂级数 7.6 泰勒公式与泰勒级数 7. 7 某些初等函数的幂级数展 开式,一、无穷级数的基本概念,7.1 无穷级数的概念,给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1u2u3 un ,其中第n项un叫做级数的一般项.,叫做无穷级数,简称级数.,称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项.,表达式,级数举例:,调和级数,等比级数,aqn-1,几何级数,p级数,级数的部分和:,级数的前n项的和,级数敛散性定义:,余项:,rnssn
2、un1un2 ,例1 证明级数 123 n 是发散的.,证,此级数的部分和为,如果q1, 则部分和,解:,(3)当q=-1时, 因为sn当n为奇数时等于a ；当n为偶数,例2,时等于零。,(1),(2),解:因为,提示:,例3,因此，,7. 2 无穷级数的基本性质,性质1,7. 2 无穷级数的基本性质,sn、sn、tn, 则,性质1,性质2,7. 2 无穷级数的基本性质,性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变.,性质1,性质2,7. 2 无穷级数的基本性质,性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,应注意的问题: 如果加括号
3、后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.,性质1,性质2,性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变.,7. 2 无穷级数的基本性质,推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.,性质1,性质2,性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变.,级数收敛的必要条件:,证:,注意: (1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件, 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛
4、. （2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件.,推论:如果,则,证:,但另一方面,解:因为,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.,一、正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.,这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的, 而单调有界数列是有极限.,定理1(正项级数收敛的充要条件),7. 3 正项级数,二、正项级数敛散性的判别法,定理2(比较判别法),推论:,例1 判断下列级数的敛散性.,解:(1) 因为,(2),解,定理2(比较判别法),设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛; 若级数un发散, 则级数vn发散
5、.,所以,当,即,故该级数收敛.,(2)当 1(或)时，级数发散,定理3(比值判别法),则,如果,(3)当1时，比值判别法不能用.,解:,所以 根据比值判别法可知所给级数收敛,例3 证明级数,是收敛的,所以 根据比值判别法可知所给级数收敛,解,解,解:因为,例6 判断级数,的敛散性.,所以,(2)当 1(或)时，级数发散,定理4(根值判别法),则,如果,(3)当1时，根值判别法不能用.,解:因为,例7 判断级数,的敛散性.,所以,7.4 任意项级数,绝对收敛,一、交错级数的定义 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的.,定理1(莱布尼兹定理),(1)unun1(n1 2 3 ),则级数收
6、敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1,这是一个交错级数.,解:,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的,且其和su11,则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1.,定理1(莱布尼兹定理),因为此级数满足,例1,二、绝对收敛与条件收敛,例如:,三、绝对收敛与收敛的关系,定理2,应注意的问题,例2,解,定理3,解,所以级数绝对收敛。,解,7.5 幂级数,形如 a0a1xa2x2 anxn 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2, )叫做幂级数的系数.,幂级数,1xx2x3 xn ,幂级数举例:,说明: 幂级数的一般形式是 a0a1(x-x0)a2(x-x0)2 a
7、n(x-x0)n . 这种形式经变换t=x-x0可化为上述定义形式.,幂级数 1xx2x3 xn 是公比为x的几何级数.,因此它的收敛域为(-1, 1),它在|x|1时收敛, 在|x|1时发散.,在收敛域内有,幂级数举例:,如果幂级数anxn当xx0(x00)时收敛, 则适合不等式|x|x0|的一切x使幂级数anxn发散.,注:,定理1,如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|R时, 幂级数发散; 当xR与xR时, 幂级数可能收敛也可能发散.,收敛半径与收敛区间,推论,正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径. 从R
8、到 R的区间叫做幂级数anxn的收敛区间,注: 若幂级数只在x0收敛, 则规定收敛半径R0; 若幂级数在(, )内收敛, 则规定收敛半径R.,定理2(收敛半径的求法),解:因为,解:,因为,所以收敛半径为R,从而收敛域为(, ).,因此, 收敛域为(1, 1.,解:,因为,所以收敛半径为R0,即级数仅在x0处收敛.,注:此级数缺少奇次幂的项, 前述求收敛半径的方法不能直接应用.,解:,这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径.,因为,所以,解:,所以收敛半径R2.,所以原级数的收敛域为1, 3).,即2x12, 或1x3,因此收敛域为2t2,幂级数的性质:,设幂级数anxn及bnxn分别在区
9、间(R1, R1)及(R2, R2)内收敛, 则在(R1, R1)与(R2, R2)中较小的区间内有,减法:,加法:,=(an-bn)xn.,=(an+bn)xn,anxn-bnxn,anxn+bnxn,性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续,幂级数的和函数的性质,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上可积 并且有逐项积分公式,性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,幂级数的和函数的求法,一般情况下,不容易,并求出这个新级
10、数的和函数,然后再对此和函数进行,直接求出.,数(或积分),这时要利用幂级数在收敛区间内可逐项求导,得出一个容易求和的新级数(如几何级数),相反的远算就得到原级数的和和函数.,解:,求得幂级数的收敛域为1 1),显然S(0)1 因为,提示,(一) 泰勒公式,7.6 泰勒公式与泰勒级数,泰勒中值定理:,在该邻域内有,等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.,(二)泰勒级数,如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数,称为函数f(x)的泰勒级数.,麦克劳林级数,在泰勒级数中取x00, 得,此级数称为f(x)的麦克劳林级数.,显然,
11、当xx0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).,需回答的问题是: 除了xx0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)?,.,.,泰勒级数,麦克劳林级数,定理:,设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零, 即,函数展开成幂级数的步骤(直接展开法),第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x), , f (n)(x), ; 第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)(
12、 0), ; 第三步 写出幂级数,第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n).,如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式,并求出收敛半径R;,7.7 某些初等函数的幂级数展开式,例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数.,解,显然 f (n)(x)ex (n1, 2, ),于是得级数,f (n)(0)1 (n1, 2, ).,它的收敛半径 R.,对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有,例2 将函数f(x)sin x展开成x的幂级数.,解,所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, 1, (n0, 1, 2, 3, ),于是得级数,对于任何有限
13、的数x、x (x介于0与x之间), 有,它的收敛半径为 R.,因此得展开式,例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数.,所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n1), , 于是得幂级数,解,f(x)的各阶导数为,f (x)=m(1x)m-1,f (x)=m(m-1)(1x)m-2, ,f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n1)(1x)m-n, ,可以证明,(1x1).,幂级数展开式的间接展开法,例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数.,已知,解,对上式两边求导得,注:
14、逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.,例5,解,已知,把x换成x2, 得,提示:,收敛半径的确定:,由-1-x21,得-1x1.,例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数.,f(x)ln(1x),解,上述展开式对x1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛, 而ln(1x)在x1处有定义且连续. 所以展开式成立的范围是(1x1).,提示:,提示:,.,例7,提示:,解,提示:,提示:,提示:,提示:,幂级数展开式小结,一、近似计算,二、欧拉公式,11.5 幂级数的应用举例,2.9926.,一、近似计算,例1,解,如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为,解,例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001.,已知,两式相减得,提示:,这个幂级数收敛速度较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.,下页,如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为,下页,解,例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001.,已知,例3,解,其误差为,取前两项得,下页,将被积函数换成其幂级数展开式得,解,前四项的和作为近似值 其误差为,所以,下页,展开被积函数 有,解,在区间0 1上逐项积分 得,因为第四项,所以取前三项的和作为积分的近似值,首页,二、欧拉公式,复数项级数,设有复数项级数(univn), 其中un, v
