《层次分析法培训》ppt课件

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1、AHP,层次分析法, 1 引言与引例,层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。,人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。,在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？,层次分析法为这类问题的决策和

2、排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。,层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。 常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预测、投入量的分配等问题。,引例1.1.1：综合评价,某公司招聘工作人员，拟从能力、知识和仪态三个方面考核应聘者的综合表现。为此建立了如下评价指标的层次结构：,其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高

3、矮与肥瘦，x8 = 音色。,如能知道底层指标 x1, , x8 对最高层的权系数w1, , w8 以及各底层指标的得分，就可以按照如下的评价公式,对应聘者进行考核、排序。,引例1.1.2：综合决策,某地要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。 在此问题中过河方式的确定取决于过河的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此分别给出了两个层次结构（图 1.1.2 和图 1.1.3）。它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的。,（1）过河效益层次结构,（2）过河代价层次结构,决策的

4、制定将取决于根据这两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之比，即如能知道底层方案 Di（i = 1, 2, 3）对最高层 Aj（j = 1, 2）的权系数 wij（i = 1, 2, 3，j = 1, 2），则可根据如下的决策公式 Si = wi1/ wi2，i = 1, 2, 3 对三个方案进行排序、选择。,引例1.1.3：预测或估计,在体育比赛中预测一个代表队的成绩，有三种可能的前景： x1 = 名列第一 x2 = 名列前八名（不包括第一） x3 = 名落孙山 所用的评价指标有三个：竞技实力、自信心、环境因素。为此构建如下的层次结构：,如能知道底层指标 x1, x2, x3 对最高层的

5、权系数 w1j, w2j, w3j（j = 1, 2, 3），将各相同前景的权系数相加，就可以按照如下的预测公式,对各前景 x1, x2, x3 对进行先验预测。,引例1.1.4：投入量的分配,在这种问题中，投入量给定，要把它们分配到若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权重，把权系数看成分配的百分比率即可。,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重，各种因素的影响很难量化，从而给用数学方法解决问题带来不便。T. L. Saaty 等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。 层次分析法（Analytic Hierarchy

6、Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔., 2 层次分析法的基本原理和步骤,运用层次分析法解决问题，大体可

7、以分为四个步骤： 1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造成对比较矩阵； 3.层次单排序及一致性检验； 4.层次总排序及其一致性检验。, 2.1 建立递阶层次结构 建立递阶层次结构是层次分析法中的第一步。,建立层次结构模型 （1）将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层； （2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重； （3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。 例1 选择钢笔的层次结构,准则层,方案层,目标层,例2 选择旅游地的层次结构,准则层A,方案层B,目标层Z,人们在决策的时候凭

8、自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty 等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。,首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包

9、括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。,一个典型的层次可以用下图表示出来：,其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。 第三，一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。,一个递阶层次结构应具有以下特点： (1) 从上到下顺序地存在支配关系，并

10、用直线段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。 (2) 整个结构中层次数不受限制。 (3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一步分组。 (4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。, 2.2 构造成对比较矩阵,在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, , An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之

11、下按它们相对重要性赋予 A1, , An 相应的权重。,对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。 层次分析法所用的是两两比较的方法。,第一，在两两比较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则 Ck，两个元素 Ai 和 Aj 哪一个更重要一些，重要多少。需要对重要多少赋予一定的数值。这里使用 19 的比例标度，它们的意义见表 1.3.1。,表1.3.1 标度的意义,用 表示第 个因素相对于第 个因素的比较结果，则,则称为成对比较矩阵。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,由上述定义知，成

12、对比较矩阵,则称为正互反阵。 比如，在旅游问题中，某人给出第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：,满足以下性质:,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。,由上表，可得成对比较矩阵,表示景色 与费用 之比为1：2， 表示景色 与居住条件 之比为4：1，可以看出，此人在选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。 旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,又如，准则是社会经济效益，子准则可分为经济、社会和环境效益。如果认为

13、经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取 5，而社会效益对于经济效益的比例标度则取 1/5。,19 的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，19 级的标度是适用的。其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在 59 级之间，采用 19 的标度反映多数人的判断能力。再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用

14、于 19 的标度。,第二，对于 n 个元素 A1, , An 来说，通过两两比较，得到两两比较判断矩阵 A： A = (aij)nn 其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij 0；（2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称 A 为正的互反矩阵。 根据性质（2）和（3），事实上，对于 n 阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个给出判断即可。,问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？,3 层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定

15、权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵可以看出，,即，,但在例2的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致阵。,一致阵的性质：,5. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 的归一化特征向量 ，（ ）,定理： 阶互反阵 的最大特征根 ，当且 仅当 时， 为一致阵。,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，但在不一致的容许范围内，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则,这样确定权向量的方法

16、称为特征根法.,计算单一准则下元素的相对权重,这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, , An 排序权重的计算问题。 对于 n 个元素 A1, , An，通过两两比较得到判断矩阵 A，解特征根问题 Aw = maxw 所得到的 w 经归一化后作为元素 A1, , An 在准则 Ck 下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。,特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性： 定理 设 n 阶方阵 A 0，max 为 A 的模最大的特征根，则有 (1) max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量； (2) A 的任何其它特征根 恒有 | max； (3) max 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。,特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量w，可用 Matlab 软件直接计算。,例如：计