计算机数控技术第三章

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1、第二节 数控的插补原理,数控系统所加工零件要求的加工轨迹是各种各样的：有直线、圆弧、椭圆、抛物线或其它高次曲线。 有两个坐标描述的平面曲线 三个坐标描述的空间曲线 多坐标描述的多维空间曲线。 设备的加工点的移动方向是有限的。 一般设备的工作台只有X、Y两个方向。 数控技术就是要控制工作点以有限方向的运动使之形成出一定的折线去近似拟合所要加工的曲线。 就是要在加工曲线精度的范围内按照一定规律配置相当数量有限方向的线段，使形成的折线与要求曲线之间的误差在允许的精度之内。 配置这些折线的工作就称为插补（Interpolation）。为进行这一工作需要按照加工曲线的种类并依照一定的数学模型做相应的运算

2、，这些运算就称为插补运算。 因此插补原理和它的计算是数控技术的一项最基本的功能，也是CNC控制机中的一个最重要的组成部分。,在数控系统中，数字信号有电平信号和脉冲信号，它们起着两种作用： 在逻辑推理过程中表示某种信号的有或无； 在数字运算中表示数量的概念。 数控设备工作台的进给距离是靠数字脉冲来控制的，一个脉冲能使工作台沿一个坐标移动的距离，叫做脉冲当量（Pulse Quantum）。 控制脉冲与脉冲当量是数控设备中最小的数字量与位移量。显然脉冲当量越小，形成的加工精度就会越高。 脉冲当量的大小决定于设备的输出装置和机械的传动系统。但是在一定的加工范围内要求的数字量就越大，最后反应在控制机中的

3、字长就越长，在串行运算中也会影响运算速度，从而降低了加工速度，对计算机的性能要求就越高。 知道了沿一个轴线的加工长度，就可换算出加工脉冲的总数。,数控技术的插补功能是由插补器来实现的。插补器既可以是硬件逻辑电路组成也可以是计算机软件组成，故又分别称为硬件插补器和软件插补器。对它的基本要求都可以归纳如下： 插补器的计算误差应小于设备最小进给量（一个脉冲当量，通常为0.01mm或0.001mm）。 具有足够高的计算速度即插补速度，通常应保证设备工作台能达到615mmin的进给速度。 保证设备工作台合成的进给速度在整个插补范围内恒定。 能够准确地到达编程终点，避免累积的插补误差。 为了保证足够的插补

4、范围和插补精度，插补器的字长在实际应用中一般取2224位二进制数字。 以十进制表示时为2,097,1518,388,607个进给当量。 当设备工作台最小位置给定量为0.001mm时，最大插补距离可达2097.1518,388,607mm。 此外，插补器的工作速度相当高，例如当采用硬件插补器，工作台最小位置给定量为0.001mm，进给速度为15m/min时，插补器的工作频率为：,数控系统通常具有直线和圆弧插补器来实现直线和圆弧的插补，其它曲线可以通过数控加工编程用这两种函数来逼近。 硬件插补器，结构复杂，需用的元件较多，造价高，可靠性差。 软件插补器，它完全借助于计算机的通用硬件，通过编程指令来

5、完成插补运算，它与硬件插补器相比，有这样一些特点： 不必改动硬件，只要根据插补公式采用不同的插补程序就能获得不同的插补功能； 每次插补计算坐标增量可以大于1个进给单位，因此可获得不受限制的进给速度； 可以插补比较复杂的函数曲线等。,逐点比较法 逐点比较法起初称区域判别法，后又称代数运算法或醉步式近似法，属脉冲增量插补。 它是我国数控技术中经常采用的一种插补运算方法，采用这种方法的数控系统既能加工直线轮廓，又能加工圆弧曲线轨迹。 基本原理 每给X或Y坐标方向一个脉冲后，使加工点沿相应方向产生一个脉冲当量的位移；然后对新的加工点所在的位置与要求加工的曲线进行比较，根据其偏离情况决定下一步该移动的方

6、向，以缩小偏离距离，使实际加工出的曲线与要求的加工曲线的误差为最小。,逐点比较法的四个工作节拍 插补器控制设备工作台每走一步、位移一次都要完成四个工作节拍，其过程如图3-5所示，即： 偏差判别 判别加工点对规定曲线的偏离位置，从而决定进给的X或Y轴坐标的走向。 进给 控制某个坐标进给一个脉冲当量，向规定的曲线靠拢，以缩小偏差。 偏差计算 计算新的加工点对规定曲线的偏差，作为下一步判别的依据。 终点判断 判断是否到达加工终点? 若到达终点，则停止插补，否则再回到第一个工作节拍。 以上四个节拍如此不断地重复上述循环过程，就能完成所需的曲线轨迹。,直线插补 加工直线时可取起始点为坐标原点O，X、Y两

7、轴方向为坐标系。那么，比较直线起点到加工点连线与坐标轴OX夹角同给定直线与OX轴夹角的大小就能反映出加工的偏差；或者根据加工点在规定直线的上方或下方也能反应出加工的偏差。,偏差判别： 设要插补一条直线OZ位于XY平面的第象限上，直线起点为坐标原点O，终点坐标为Z(xz，yz)，如图3-6所示。直线OZ与X轴夹角为，某一时刻的加工点为N(xn，yn)，直线始点到加工点的连线ON与X轴夹角为n 。 若n，表示加工点在给定直线的上方，若n，表示加工点在给定直线的下方，当n=时，则加工点就在给定直线上。,角的大小可用正切值来反映，所以比较角度与n的大小，只要比较它们的正切值tan与tann的大小即可。

8、这里 则 因为 所以 与 符号相同。这样，可取后者为N点的加工偏差。于是，令 并称 为直线插补偏差判别式，或称偏差判别函数。 根据Fn就可以判断加工点N偏离直线OZ的情况。即 0时，N点在直线的上方 当Fn 0时，N点在直线上 0时，N点在直线下方 按上述公式就可以实现逐点比较法的直线插补。,进给 知道偏差Fn就可以决定加工的进给方向。例如图3-7所示，当加工的一个点N在OZ线的上方时，为了使其加工时不偏离直线太远，它应向X方向走一步即进给为X+l，而在到达N1点后，因N1点在直线下方，故再进给应是Y方向，即进给为Y+l，这样根据偏差Fn就能决定进给方向。即 当Fn 0时，沿X方向进给一步；

9、0时，沿Y方向进给一步。,偏差计算直线插补的递推公式 加工点每走一步要作一次偏差计算，由此得到Fn后，再确定进给方向。为了插补运算方便，偏差计算可用下述方法导出的简便公式进行。 若要加工直线OZ，设在某一时刻加工至N(xn，yn)点，N点在直线上方或在直线上，即 则向+X方向进给一步，到达N1(xn+1，yn+1)点，得 所以，N1点的偏差为 若N1点在直线下方，则 。 那么，应向+Y方向进给一步，到达N2(xn+2，yn+2)点，得 ， 于是,由以上公式可得出结论：新加工点的偏差Fn+1决定于前一个加工点的偏差Fn和给定直线的终点Z的坐标值（xZ，yZ）。这种偏差计算的递推法，使软件不必作乘

10、法运算，因此在实现中非常简单且速度较快。 根据以上的结论，可归纳出处于第象限的直线L1的加工计算公式和进给方向，如表3-l所示。,基于上述方法，也不难推导出第、象限的直线偏差计算公式和进给方向，这如图3-8和表3-2所示。,由上可知，逐点计算偏差的方法，可把 的运算公式化为 或 的简单公式。对计算机来说，能简化程序，只是要根据表3-2对不同象限的直线加工，采用不同的计算公式和进给就可以了。,终点判断 在计算偏差的同时，每次循环还要进行终点判断，以确定是否到达加工终点。如已到达终点，就不再进行运算，而发出停机或转换新程序段的信号。终点判断的具体做法有两种： 一种是总步数计数法，即根据某程序段中起

11、点到终点的距离，控制X向和Y向所要走的总步数来判断，也就是根据X向和Y向在该程序中要发出的进给脉冲总数来判断。当插补运算开始后，每走一步（无论是X方还是Y向）就从总步数中减去l，直到这个总步数全部减到零，就表示已到达终点，停止插补。,另一种是控制X或Y向所要走的步数来判断。即一个坐标值计算法，也就是控制直线在X轴、Y轴上的投影步数。然而，到底是采用X计数方向Gx，还是采用Y计数方向Gy?为了能使加工长度控制得精确些，一般是以45为界，可按图3-9确定。即对L1而言，如45，应采用X方向的X的总步数Jx来控制终点。如45，则Y方向的Y的总步数Jy来控制终点，以此来判断加工是否到达终点。,例：插补

12、加工第象限直线L1。其终点坐标如图3-10所示。这时因为 ，故采用终点判断的计数方向为Gx，设X的总脉冲数为8。它每走一步，计数器就减1，当为零时，就表示到了终点。现将这一直线的插补运算列表于表3-3中。,软件实现 由表3-2和图3-8可知，直线插补计算是和加工偏差F、线型L1L4，计数方向和进给等参数有关；同时还要根据F和线型的不同，选择不同的插补计算公式，因而由软件实现的插补器就应按下列步骤进行。 向CNC控制机键入直线插补的数据 终点坐标值xz和yz 内存单元； 终点坐标值的补码 和 内存单元； 计数长度值J 内存单元； 计数方向Gx或Gy 内存单元（可用0代表Gx，1代表Gy）； 线型

13、代码L1L4 内存单元（可分别用01、02、03、04代表L1、L2、L3、L4）； 加工偏差值F（判别式） 内存单元。,进行程序初始化 先使F=0（插补直线的起始点总在坐标原点上）； 确定计数方向Gx或Gy； 确定线型L1L4 ； 其它寄存器和内存单元的初始化。 根据偏差判别值F的不同，选择相应的插补公式，并由程序区分线型L1L4。 进给X或Y是用作电动机驱动的，应编写相应电动机驱动子程序。 新的偏差判别值的计算，即F的计算采用十进制补码运算（程序中可附有补码换算子程序）。 终点判断，采用计数长度J，J值是根据Gx或Gy的确定，取终点坐标xz或yz的值；当J10时，插补加工结束。 根据插补的

14、基本思想和以上步骤就能绘出具体的程序框图。,圆弧插补 用逐点比较法也容易实现具有圆弧轮廓表面的加工插补。插补时也按偏差判别、进给、偏差计算、终点判断四个工作节拍进行。 偏差判别： 圆弧轨迹的形成有顺时针方向形成的顺圆SR和逆时针方向形成的逆圆NR的不同，而且也有坐标四个象限的区别，故偏差判别的情况共有八种。 加工圆弧时，很自然地会想到用加工点到圆弧圆心的实际距离和圆弧的半径（即轮廓曲线的理论曲率半径）相比较，来反映加工偏差。,现取第象限逆时针走向加工的一段圆弧NR1来加以分析。 设要插补加工的圆弧QZ在第象限，逆时针走向，半径为R，坐标原点O为圆心。圆弧的起点坐标Q(xq，yq)，终点坐标Z(

15、xz，yz)，如图3-11所示。Rn表示加工点到圆心的实际距离。 若RnR，表示加工点在圆外；若RnR，表示加工点在圆内；当Rn=R时，则加工点就在给定圆上。,根据Fn就可以判别加工点N偏离圆弧QZ的情况，即 0时，N点在圆外 当Fn 0时，N点在圆上 0时，N点在圆内 按上述公式同样可以实现逐点比较法的圆弧插补。,众所周知，圆心在坐标原点的圆方程为： N(xn，yn)为任一圆弧上的一点，则 于是令： 并称Fn为圆弧插补偏差判别式，或称偏差判别函数。,进给 当圆弧曲线的加工方向给定以后，加工点可能进给的方向也就确定了。如现在加工的QZ是逆时针方向，在加工点N时，因N点在圆外，要靠近圆弧QZ，则唯一的进给方向是X方向。在加工点N1时，因N1点在圆内，则只有进给Y方向。显然它与加工点在圆内或圆外有关系，即Fn的正负有关（下面还将知道，其实它还与圆弧的形成方向和加工点所在象限有关）。这样根据偏差Fn，就能决定进给方向。 当Fn 0时，沿X方向进给一步； 0时，沿Y方向进给一步。 （对第象限的逆圆）,偏差计算圆弧插补的递推公式 按照偏差判别的公式，牵涉到平方值的计算，这便使软件程序变得复杂。为了简化计算，应设法将它变成加减运算，使其可以像直线插补那样，采用递推法进行圆弧插补。 设某加工点N(xn，yn)位于圆弧上或圆弧外侧，则偏差