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1、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原函数与不定积分的概念,第四章,一、 原函数与不定积分的概念,例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,(P213),问题:,1. 在什么条件下, 一个
2、函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函数 . （P213）,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,证: 1),又知,故,即,属于函数族,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(P213）,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,(P214),若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束,不定积分的几何意义: （P215）,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的积分曲线 .,例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 质点在距地面,处以初速,力, 求它的运动规律.,解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),机动 目录 上页 下页
4、 返回 结束,垂直上抛 ,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,二、 基本积分表 (P216),从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、不定积分的线性性质 （P217）,推论: 若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. （P218）求,
5、解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表 (见P 216),2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 证明,2. 若,(P191题4),提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,3. 若,是,的原函数 , 则,提示:,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 求下列积分:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6. 求不定积分,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7. 已知,求 A , B .,解: 等式两边对 x 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
