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1、一、一维齐次方程的初值问题,考虑无限长弦的自由振动问题：,达朗贝尔(DAlembert)公式,二、无界弦的受迫振动和齐次化原理,由叠加原理可知，,齐次方程，非齐次初始条件,则,是初值问题（10）（11）的解。,非齐次方程，齐次初始条件,一维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式,定理1（齐次化原理或Duhamel原理）,设,若 满足：,三、半无界弦的振动问题,对称延拓法的理论依据：,如果自由项,初始数据,和,是,奇（偶）函数，则由表达式（19）所定义的函数,是,的奇（偶）函数。,的,端点固定,端点自由,奇延拓,偶延拓,四、三维波动方程,三维波动方程初值问题解的泊松公式,非齐次方程的初
2、值问题和推迟势,其中,Kirchhoff公式,五、二维齐次波动方程的初值问题,二维波动方程初值问题的Poisson公式,二维非齐次波动方程的初值问题,利用叠加原理和齐次化原理，可以得到其解为,五、依赖区域、影响区域、决定区域,1维,我们称区域 K为区,间,的决定区域。,在区间,上给定初值,，就可以在决定区域 K,中决定初值问题的解。,因此该扰动的影响范围是 ，,我们把,称为区间,的影响区域。,平面上的区域,依赖区域,在二维情形下，,任取一点,由,二维齐次波动方程的初值问题解的泊松公式得,2维、3维,由此可见，解,在,上的值依赖于初值函,数,在圆域,上的值，而与,在圆外的值无关。,圆域,称为点,
3、的依赖区域。,它可看作锥体,与平面,相交截得的圆域。,在三维情形下，,任取一点,由三,维齐次波动方程的初值问题解,的泊松公式可知，它的依赖,区域是球面,它可看作锥面,与超平面,相交所截得的球面。,决定区域,在二维情形下，,对于锥体,中任何一点,其解,的依赖区域,都包含在圆域,内。,因此圆域,就决定了锥体,中每一点上解,的值。,锥体,称为圆域,的决定区域。,类似地，在三维情形下，给定球域,我们称,空间的锥体域,为球域,的决定区域。,解在锥体域,内任何一点的,值,都由球域,上的初值所决定。,影响区域,在二维情形下，我们在初始平面,任取一点,作一锥体域,锥体域,中任何一点,其依赖区域都包括点,即,解受到,上定义的初值,和,的影响，,而,外任何一点的依赖区域都不包含,点,称锥体域,为点,的影响区域。,类似地，,锥面,称为点,的影响区域，,即点,处给定,的初值只影响到解,在,上的点的取值，而不影响解,在,外的点的取值。,特征锥,以点,为顶点的圆锥面,称为二维波动方程的特征锥。,以点,为顶点的圆锥面,称为三维波动方程的特征锥。,从以上可以看出，特征锥在波动方程初值问题解的,依赖区域、决定区域和影响区域中起着重要作用。,
