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1、方差分析,方差分析(Analysis of Variance,ANOVA) 1928年由英国统计学家R.A. Fisher 首先提出，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称为F检验。,方差分析的优点,不受比较组数的限制，可比较多组均数 可同时分析多个因素的作用 可分析因素间的交互作用,方差分析的应用条件,独立性：各样本是相互独立随机的样本 正态性：各样本都来自正态总体 方差齐性：各样本的总体方差相等,看一个实例,例9.1 某医生研究一种四类降糖新药的疗效，按完全随机设计方案治疗糖尿病患者，治疗一月后，记录下每名受试者血糖下降值，资料见表9.1，问三种治疗方案对降血糖的疗效是否相同？,变异
2、分解,组间变异 总变异 组内变异 SS总=SS组间+SS组内 总=组间组内,总变异SS总（离均差平方和 ）,总=N-1,组间变异SS组间,组间=k-1,MS组间 =SS组间/(k-1),组内变异SS组内,组内=N-k,MS组内=SS组内/(N-k),方差分析的基本思想,抽样误差 本质上的差别 + 抽样误差 （组间差异） （组内差异）,如果三种治疗方案效果相同，也即三组样本均数来自同一总体(H0：1=2=3)，那么从理论上说组间变异应该等于组内变异，因为两者均只反映随机误差(包括个体差异)，这时若计算组间均方与组内均方的比值： F= MS组间 /MS组内,则F值在理论上应等于1，但由于抽样误差的
3、影响，F通常接近1，而并不正好等于1。相反，若三种疗法效果不同，则组间变异就会增大，F值则明显大于1，要大到什么程度才有统计学意义呢？可通过查附表4 方差分析用F界值表得到P值，将其与事先规定的值比较后作出判断。,单因素多个样本均数的比较(analysis of one way variance),处理因素只有一个 属于完全随机设计：随机抽样 随机分组 随机试验,基本步骤,建立检验假设 计算检验统计量 (列方差分析表) 计算 P 值 下结论,建立假设,H0：A=B=C，三种治疗方案治疗糖尿病患者的血糖下降值相同 H1：三种治疗方案治疗糖尿病患者的血糖下降值不全相同或全不相同。 =0.05,计算
4、基本数据 基础数据,计算SS总，SS组间，和SS组内 列方差分析表,列方差分析表,计算SS总，SS组间，和SS组内,界定P值，作结论,总自由度为N1=601=59 组间自由度=组数(k)1=31=2 组内自由度=总自由度组间自由度=592=57。,查方差分析表得F0.05(2，57)=5.53， FF0.05(2,57)，则P=0.0060.05。 故按 =0.05的水准，拒绝H0，接受H1，故可认为三种治疗方案的治疗效果不一样。,多个样本均数的两两比较,在方差分析认为多组均数间差异有统计学意义的基础上，若需了解究竟哪些组均数之间有差别，还是各组间均有差别，可用多个样本均数的两两比较(又称多重
5、比较 multiple comparison)。,多个样本均数的两两比较不宜用t检验 如用 t 检验，则第一类错误率将增大，此时易将无差别的两均数错判为有差别 =1-(1-)m ( m=Ck2=k(k-1)/2) 如：三个组的比较 1-(1-0.05)3=0.14，比0.05大多了。,多个样本均数间的两两比较,用q检验(又称Student-Newman-Keuls法，即SNK法)，统计量为q：,H0：A = B ，每次对比时两个总体均数相等； H1：AB ，每次对比时两个总体均数不等。 =0.05。 将三个样本均数按从大到小顺序排列并编上组次： 组次 1 2 3 均数 9.1952 5.800
6、 5.4300 组别(治疗方案) A B C,结论,总的说来，三种治疗方案的治疗糖尿病患者的血糖下降值有差别。而这种差别主要来自A方案和B、C方案。这一结论可用下列形式表示： A B C 9.1952 5.800 5.4300,多个实验组与一个对照组均数间的两两比较,常用q检验，又称Duncan法，其计算公式为 ： 公式与q检验公式类似，但需查附表9 q界值表。,两因素多个样本均数的比较 (two way analysis of variance ),配伍因素和 处理因素 属于随机区组设计（ block design ) 又称“配伍组设计”,配伍的概念,是“配对”概念的扩展，不是按每两个配对，
7、而是按每三个、每四个或更多个配起来，这就超出了“对子”的涵义，而是配伍组设计了。,配伍设计的目的,对研究因素以外的已知的干扰因素加以控制，从而将研究因素的作用与干扰因素的作用区分开，以达到提高检验的功效之目的。,实例,例6.10 在抗癌药筛选试验中，拟用20只小白鼠按不同窝别分为5组，分别观察三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效果，资料见表6.7，问三种药物有无抑瘤作用？,两因素方差分析的原理类似于单因素方差分析，前者仅在后者的基础上，从误差中再分离出配伍组效应，使误差减少，达到提高检验功效之 SS总=SS处理+SS配伍+SS误差,H0：三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效 果与对照组
8、相同，即对照=A=B=C； H1：三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效果与对照组不全同或全不同。 =0.05。,建立检验假设,H0：5个窝别小白鼠对肉瘤生长的反应相同； H1：5个窝别小白鼠对肉瘤生长的反应不全相同或全不相同。 =0.05。,计算SS总，SS处理， SS配伍和SS误差,SS误差=SS总SS处理SS配伍 =0.741280.410840.11233 =0.21811,计算自由度,总=总例数1=201=19 处理=处理组数1=41=3 配伍=配伍组数1=51=4 误差=总处理配伍=1934=12,列方差分析表,界定P值，作结论,F0.05,(3,12)=3.49 F0.05,(4,12)=3.26 F0.01,(3,12)=5.95 F0.01,(4,12)=5.41,显然处理组间均数的检验结果是FF0.01，P0.01，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效果与对照组不同；但配伍组间差别无统计学意义，即各窝小白鼠对肉瘤生长的反映相同。,方差齐性检验,两个方差的齐性检验 多个方差的齐性检验,方差分析的正确应用,要求资料满足独立性、正态性和方差齐性 变量变换 对数转换 平方根转换 平方根反正弦转换,方差分析的正确应用,两两比较 F 值、t 值、q 值、q值之间的关系,
