《杭州下城培训机构新王牌教育1.1正弦定理和余弦定理习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《杭州下城培训机构新王牌教育1.1正弦定理和余弦定理习题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 正弦定理和余弦定理 习题课,杭州下城培训机构新王牌教育,杭州下城新王牌培训机构,题型一 正弦定理的应用 (1)在ABC中,a= ,b= ,B=45. 求角A、C和边c； （2）在ABC中，a=8，B=60，C=75.求边b 和c； （3）在ABC中，a，b，c分别是A,B,C 的对边长，已知 ，且a2-c2= ac-bc，求A及 的值. 已知两边及一边对角或已知两角及 一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注 意解的个数的判断.,题型分类 深度剖析,杭州下城培训机构新王牌教育,解,ab,A=60或A=120. 当A=60时，C=180-45-60=75,当A=120时，C=180-45
2、-120=15.,杭州下城培训机构新王牌教育,(2)B=60,C=75,A=45. （3）a，b，c成等比数列， b2=ac，又a2-c2=ac-bc， b2+c2-a2=bc. 在ABC中，由余弦定理得,杭州下城培训机构新王牌教育,（1）已知两角一边可求第三角，解这 样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. （2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正 弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是 解题的难点，应引起注意.,杭州下城培训机构新王牌教育,题型二 余弦定理的应用 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且 （1）求角B的大小； （2）若b= ，a+c=4，求ABC的面积
3、. 由 利用余弦定理 转化为边的关系求解. 解 （1）由余弦定理知：,杭州下城培训机构新王牌教育,杭州下城培训机构新王牌教育,(1)根据所给等式的结构特点利用余弦 定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. （2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意 整体思想、方程思想在解题过程中的运用.,杭州下城培训机构新王牌教育,知能迁移2 已知ABC中，三个内角A，B，C的 对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且 2S=（a+b）2-c2，求tan C的值. 解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C. 所以,absin C=2ab(
4、1+cos C), 即sin C=2+2cos C,杭州下城培训机构新王牌教育,题型三 三角形形状的判定 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）= （a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 利用正弦定理、余弦定理进行边角 互化，转化为边边关系或角角关系. 解 方法一 已知等式可化为 a2sin（A-B）-sin（A+B） =b2-sin（A+B）-sin(A-B) 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为： sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,杭州下城培训机构新王
5、牌教育,sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0 sin 2A=sin 2B,由02A,2B2 得2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A= -B,ABC为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正、余弦定理,可得 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 a=b或a2+b2=c2 ABC为等腰或直角三角形.,杭州下城培训机构新王牌教育,判断三角形形状可通过边和角两种途 径进行判断,应根据题目条件，选用合适的策略： （1）若用边的关系，则有：若A为锐角，
6、则b2+c2 -a20;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角， 则b2+c2-a20. （2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的 三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得 出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时 要注意应用A+B+C=这个结论.,杭州下城培训机构新王牌教育,知能迁移3 在ABC中，已知2sin Acos B= sin C，那么ABC一定是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析 方法一 因为在ABC中，A+B+C=， 即C=-（A+B），所以sin C=sin(A+B). 由2sin Acos B=sin C, 得2si
7、n Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.,杭州下城培训机构新王牌教育,又因为-A-B,所以A-B=0,即A=B. 所以ABC是等腰三角形，故选B. 方法二 利用正弦定理和余弦定理 2sin Acos B=sin C可化为 即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0, 即a2=b2,故a=b. 所以ABC是等腰三角形. 答案 B,杭州下城培训机构新王牌教育,题型四 正、余弦定理的综合应用 (12分)在ABC中，a，b，c分别是A，B， C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C. (1)求
8、角B的大小； (2)若b= ,a+c=4,求ABC的面积. (1)用正弦定理,将边用角代换后求解. (2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可. 解 （1）在ABC中，由正弦定理得： a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C,杭州下城培训机构新王牌教育,整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, 4分 即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在ABC中，sin A0,2cos B=1, B是三角形的内角，B=60. 6分 （2）在ABC中，由余弦定理得 b2=a2+c2-2
9、accos B =(a+c)2-2ac-2accos B, 8分 将b= ,a+c=4代入整理，得ac=3. 10分,12分,杭州下城培训机构新王牌教育,在求角问题中，一般都是用正、余弦定 理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的 范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技 巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2. 将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.,杭州下城培训机构新王牌教育,知能迁移4 （2008辽宁理，17）在ABC中， 内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已 知c=2, （1）若ABC的面积等于 ，求a、b的值； （2）若sin C+sin(B-A
10、)=2sin 2A,求ABC的 面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4. 又因为ABC的面积等于 ， 所以 absin C= ,所以ab=4.,杭州下城培训机构新王牌教育,(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即sin Bcos A=2sin Acos A, 当cos A0时，得sin B=2sin A, 由正弦定理得b=2a,杭州下城培训机构新王牌教育,方法与技巧 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的 重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系, 三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求 解三角形，以及利用它们解决一些实际问题
11、. 2.应熟练掌握和运用内角和定理: A+B+C=, 中互补和互余的情况, 结合诱导公式可以减少角的种数.,思想方法 感悟提高,杭州下城培训机构新王牌教育,3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由 正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C- 2sin Bsin Ccos A,可以进行化简或证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种 途径： （1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦 （余弦）定理实施边、角转换. 失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边 的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角 时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类 讨论.,杭州下城培训机构新王牌教育,11.在ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c, 设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A 和tan B的值. 解 由b2+c2-bc=a2,得,杭州下城培训机构新王牌教育,12.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c， 已知a+b=5，c= ，且 (1)求角C的大小； (2)求ABC的面积. 解 （1）A+B+C=180,杭州下城培训机构新王牌教育,即7=a2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,杭州下城培训机构新王牌教育,
