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1、第6章 二次型,在解析几何中,为了研究二次曲线(1) 的几何性质,可以选择适当的坐标变换 , 将方程(1)化为不含 混合项的标准型(2) 在二次曲面的研究中,也有类似的问题. (1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二次齐次多项式,使之只含平方项. 这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.,定义6.1 n元变量x1,x2,xn的二次齐次多项式,叫做数域F上的n 元二次型（简称二次型）.其中系数 是数域F 中的数，实数域
2、上的二次型简称实二次型.,6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵,如果令aji = aij (1ijn) ，则上式可以表示为,其中 x=(x1,x2,xn)TRn， A=(aij)nn 是实对称矩阵,称为二次型 f 对应的矩阵.,若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即,证 先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得 aii=bii (i=1, 2, , n),再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T (第 i, j个分量为1,其余为0)，代入上式得 aij=bij (ij),则 A=B,所以,A=
3、B,例1 设,则它对应的矩阵为,由此可见,二次型与矩阵之间存在一一对应的关系,即任给一个二次型,唯一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称阵,唯一确定一个二次型.,因此,研究二次型的性质,就是研究对称矩阵 A 的性质. 我们把对称阵 A 的秩, 称做二次型 f 的秩.,例2、已知二次型 的秩为2，求参数,解:,练习：已知三元二次型 A矩阵的特征值为2，3，0, 且其中对应于特征值2，3的特征向量分别为 ，,(提示:不同特征值对应的特征向量正交.再利用特征向量的定义,可以求出矩阵A ),求此二次型的表达式.,如果n维向量在两组基B1=1,2,n和 B2 =1,2,n 下的坐标向量分别 x=(x1,
4、 x2, xn)T 和 y=(y1, y2, yn)T 又 (1, 2, n)=(1, 2, n) C 则 x=C y f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C. yT(CTA C)y 是 y1,y2,yn 的一个二次型.,一般地,将二次型化为标准型的过程:,即寻找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵.,为此,引出合同矩阵的概念.,定义6.2 对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得 B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B （记作A B)。,矩阵的相合关系是一种等价关系
5、，具有以下性质： (1) 自反性， A Mn(F), A A； (2) 对称性， A, B Mn(F), 若A B, 则 B A； (3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A B, B C，则 A C 。,6.2 化二次型为标准形,二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次型称其为标准形.,化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法和初等变换法.,6.2.1 正交变换法,定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,xn)= xTAx ， 存在正交变换都x =Qy (Q为正交阵)， 使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
6、 x TA x = y T(QTAQ) y =1y12+nyn2 其中1,n 是实对称矩阵A的n个特征值， Q的n个列向量是A属于1,n 的n个标准正交的特征向量.,例 用正交变换化二次型,为标准型.,解:,用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得,2=10 时，,取正交矩阵,则T1AT = diag(1, 1, 10),x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32,1=1时，解齐次线性方程组 得到线性无关的特征向量x1 =(2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T,解齐次线性方程组,三个特征值决定二次曲面的类型。,例的应用：在自然基1, 2 ,
7、3 下，对二次曲面方程,做坐标变换：,在新基1, 2 , 3 下，二次曲面方程为,y12+ y22 +10y32=1,这是椭球面方程，椭球的三个主轴长度分别为,用正交变换化二次型为标准型,具有保持几何形状不变的优点. 上例中, 为一个椭球面; 在新的坐标系下,二次曲面方程 依然是一个椭球面.,事实上,当矩阵 为正交矩阵时,线性变换 常被称为正交变换.此时, 即正交变换具有保持距离不变的特点,当然不会改变图形在不同坐标系中的形状.,例2 将一般二次曲面方程,化为标准方程（只含平方项和常数项）。,(1),解 将(1)式中二次项部分,其中x=(x, y, z)T, y=(x, y , z , )T,
8、用类似例1的正交变换法化为平方和:,(2),(3),取正交矩阵,令x = T y,将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程(1)化为,图形为单叶双曲面。,即 x TA x = yT(TTAT)y=9 x2+18 y2 18z 2,则 T1AT = diag (9, 18, 18),6.2.2 配方法和初等变换法化二次型为标准形,化为标准形，并求所用的坐标变换 x=Cy 及变换矩阵C 。,例3 用配方法把三元二次型,在x=Cy 变换中，d i 一般不是特征值。,解 先按x12 及含有x1的混合项配成完全平方，即,在上式中，再对 x224x2x3 配成完全平方,f(x1, x2, x3)=2(
9、x1+ x2 x3)2+(x2 2x3)2 5x32,代入上式，得二次型的标准形,f(x1, x2, x3)=2y12+y22 5y32,就是坐标变换 x=Cy ，式中的矩阵就是变换矩阵C。,对一般 的f(x1, x2, ,xn)的配方法：若 x12 项的系数不为0， 就按上例配方。如果 x12 项的系数为0，而x22 项的系数不为 0，就从x2开始配方。如果所有的二次项的系数都为0，就按 下例的方法化为标准形。,例4 用配方法化二次型 f (x1, x2, x3)= 2 x1 x2 2x1 x3 + 2 x2 x3 为标准形，并求所做的坐标变换。,将(1)式代入二次型，得 f(x1, x2,
10、 x3)= 2y12 2y22 4y2y3 (2),解 因为没有二次项，先利用平方差公式 做如下变换:,记作 x=C1 y,(1),得二次型的标准形 f(x1, x2, x3) = 2z12 2z2 + 2z32 即 x TA x = z T z,再用例3的配方法得 f(x1, x2, x3) = 2y12 2(y2+y3)2+2y32,f(x1, x2, x3)= 2y12 2y22 4y2y3,(3),其中,变换矩阵,坐标变换为 x=C1y=C1(C2 z)=(C1C2)z,任何n元二次型都可用配方法化为标准形，相应的变换矩阵 是主对角元为的上三角矩阵和例4中的对角块矩阵C1, 或者 是这
11、两类矩阵的乘积。 任意一个n阶实对称矩阵A，也都可以通过一系列相同 类型的初等行、列变换化成其相合的标准形（对角矩阵）。 所谓相同类型的初等行、列变换指的是：,(1) 如果用倍加初等阵 Eji(c) 右乘A（即A的第i列乘c加到第j列），那么相应地也用 EjiT(c)=Eij(c) 左乘A （即列变换后的A的第i行乘c加到第j行）。变换后的矩阵EjiT(c) A Eji(c) 仍是对称阵。 (2) 如果用Ei(c) 右乘A ，则也用EiT(c)左乘A ，即A的第i列和第i行都乘非零常数c ，显然 EiT(c) A EiT(c) 仍是对称阵。 (3) 如果用 Eij 右乘A ，则也用 EijT左
12、乘A ，即A的第i列与第j 列及第i行与第j行同时对换位置，如此所得的 EijT A Eij 也是对称阵。,定理6.2 对任意一个n 阶实对称矩阵A，都存在可逆矩阵C，使得 CT A C =diag(d1, d2, , dn),其中A 1 仍为n-1阶 实对称矩阵。,(1)如果a110,由于a1j=aj1(j=1,2,n)，因此对A做相同类型的行、列倍加变换，可将第行与第列的其他元素全化为零，得,证： 设 A是n阶实对称矩阵。,用数学归纳法可以证明：对任一个n 阶实对称矩阵A， 都存在初等矩阵 P1,P2,Pk, 使得 PkTP2TP1TAP1P2Pk= CTAC =diag(d1,d2,dn
13、) 其中 C= P1P2Pk =I P1P2Pk 即对A做的列变换同样施加于单位矩阵I，即得变换矩阵C。,(2)如果a11=0，但存在 aii0，先将第1列与第i列对换，第1行与第i行对换，就把 aii 换到第1行第1列的位置，化为 (1)。 (3)如果aii=0(i=1,2,n)， aij0, 可将第j 列加到第i列, 将第j 行加到第i行,第i行第i列的元素化为 2aij 0，就化为(2)。,化为标准形，并求所做的坐标变换 x=C y 的变换矩阵C 。,解 将二次型的矩阵A与单位矩阵I 上下排列，对A做相同类型的初等行、列变换使之化为对角阵，同样的初等列变换，将I化为C。(以下i, (j)
14、 分别表示i列, 第j行),例5 用初等变换法将例1的二次型,做变换x=Cy，,其中,则 xTAx=,则,做变换x=Cy，其中,则 xTAx=,解 同上题做法：,例6 用初等变换法将例4的二次型（参看第17，18页） f(x1, x2, x3)= 2 x1 x2 2x1 x3 + 2 x2 x3 化为标准形，并求所做的坐标变换 x=C y 的变换矩阵C 。,在例1和例5中用不同的方法得到同一个二次型的不同标准形, 即矩阵相合于不同的对角阵,同样，在例4和例6中用不同的方法得到同一个二次型的不同标准形, 即矩阵相合于不同的对角阵,diag(2, 2, 2) 和 diag(2, 1/2, 2),d
15、iag( 1, 1, 10) 和,6.3 惯性定理和二次型的规范形,定理6.3（惯性定理）n元二次型xTAx经坐标变换化为标准 形时，正平方项的个数p和负平方项的个数q是由A唯一确定 的。或者说对实对称矩阵A，不论取怎样的可逆矩阵C,只要 CTAC= diag(d1, ,dp, dp+1, , dp+q, 0,0) di0(i=1, ,p+q), p+qn 成立，则p和q是由A唯一确定的。,证 由秩(A)=秩(CT A C)= p+q, 知 p+q=r 由A唯一确。设实二次型 f=xT A x 经坐标变换 x=By 和x=Cz (1) (B,C都可逆) 分别化为标准形 (bi, ci0, i=1, ,r) f= b1y12+ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 (2) f =c1 z12+ ct zt
