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1、1,第二讲,古典概型与概率的定义,一、 古典概型,设 随机试验E 具有下列特点：,1） 样本点个数有限有限性 2） 每个样本点发生的可能性相等 等可能性,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的 古典定义,3,故,4,（1.3.1）,古典概率的性质,3、对于互不相容的事件 有,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm 种方法 .,这样就把求概率问题转化为计数
2、问题 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,2. 乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .,3、排列、组合的几个简单公式,排列和组合的区别：,顺序不同是 不同的排列,3把不同的钥匙的6种排列,而组合不管 顺序,从3个元素取出2个 的排列总数有6种,从3个元素取出2个 的组合总数有3种,（1）排列: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同排列总数为：,k = n时称全排列,排列、组合的几个简
3、单公式,例如：n=4, k =3,第1次选取,第2次选取,第3次选取,从n个不同元素取 k个（允许重复） （1 k n)的不同排列总数为：,例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,（2）、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：,（3）、组合系数与二项式展开的关系,令 a=-1,b=1,利用该公式，可得到许多有用的组合公式：,令 a=b=1,得,由,有,比较两边 xk 的系数，可得,运用二项式展开,（4）、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,rk的分法总数为,n个元素,因为,例1 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中
4、按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次,:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.,则,因此,称超几 何分布,（2）放回 情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子
5、中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例2 （分房模型）,解,设 (1) (6)的各事件分别为,则,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为 ,故,例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,例4 袋中有a个红球，b个白球，现在把球随机地一个个摸出来，求第k次摸出的一个球
6、是红球的概率（1ka+b）。,解 以A表示事件“第k次摸出的一个球是红球”这一事件。把a个红球及b个白球都看作是不同的（比如设想它们都编了号），若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上，则可能的排列法相当于把a+b个元素进行全排列。将每一种排列法作为一个样本点，那末各样本点的,出现是等可能的，样本点总数为（a+b）！，下面求事件A所包含的样本点个数，由于第k次摸 得红球有a种取法，而另外（a+b-1)次摸球相当于a+b-1个球进行全排列，有（a+b-1)！种方法，故事件A所包含的样本点个数为a(a+b-1)!。于是,27,1、几何概型 向一个可度量的有限区域 内投一点, 若该点落入 内
7、任何子区域 A 中的可能 性大小只与该区域A的度量成正比, 而与其位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验，或几何概型。,2、几何概率的计算,二、几何概型 (等可能概型的推广),其中,分别表示区域，区域A的度量。,例5 （会面问题）两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一个人 20 分钟，过时就可离去，试求这两个人能会面的概率。,解：,以 x , y 分别表示两个人到达时刻，则会 面的充要条件为,即：,3、几何概率的性质,3、对于互不相容的事件 有,公理2 P(S)=1 (2),公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .,
8、公理1 0 P(A) 1 (1),设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:,三、 概率的公理化定义,公理2 P(S)=1 (2),公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的.,公理 1 0 P(A) 1 (1),公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；,公理2说明，必然事件的概率为1；,公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.
9、下面我们就来给出 概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.,概率的性质,即不可能事件的概率为0 .,性质2 对于互不相容的事件 有,由 知， B=A(B-A) 且 A(B-A)= ，,因为,1=P(S)=P(A)+P( ),性质4 对任一事件A ，有,性质4在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A).,性质4 对任一事件A ，有 (4),例7 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中
10、的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n = 64，,每个盒子至多有一个球. 由例4（6）,性质5 对任意两个事件A, B, 有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B AB),性质6 加法公式：对任意两个事件A, B, 有,推广：,一般：,右端共有 项.,又因 再由性质 3便得 .,则有,（2）因为 ，所以,例10 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出第 一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率 为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王,解 设事件Ai 表示“能答出第 i 类问题” i = 1,2,(1),(1) 答出第一类而答不出第二类
11、问题的概率 (2) 两类问题中至少有一类能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),例10中小王他能答出第一类问题的概率 为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类 问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 ？,若是的话, 则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在1.5中将告诉我们上述等式成立的,条件是 ：事件 相互独立.,解,设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除”,设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”,A = A1 A2,例11 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.,课堂练习: 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,
