世纪金榜第八章 第七节

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1、第七节 双曲线,1.双曲线的相关概念 (1)双曲线的定义： 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 在平面内；动点到两定点的距离_为一定 值；这一定值一定要_两定点的距离. (2)焦点：两个_称为双曲线的焦点. (3)焦距：_间的距离.,之差的绝对值,小于,定点,两焦点,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0，-a),(0，a),c2=a2+b2,2a,2b,3.等轴双曲线 _等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 (0),离心率 渐近线方程为y=x.,实轴和虚轴,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (

2、1)平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0，4),F2(0，-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ),(4)双曲线方程 (m0,n0,0)的渐近线方程是 即 ( ) (5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 ( ) (6)若双曲线 (a0,b0)与 (a0,b0)的离 心率分别是e1,e2,则 (此结论中两条双曲线为共轭双 曲线).( ),【解析】(1)错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而 非双曲线的全部. (2)错误.因为|MF1-MF2|=

3、8=F1F2，表示的轨迹为两条射线. (3)错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0,b0)的渐近线方程为y= 即 当0时， (m0,n0)的渐近线方 程为 即 即 =0.同理当0时， 仍成立，故结论正确.,(5)正确.等轴双曲线:x2-y2=a2(a0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a, c= e= (6)正确.双曲线 =1(a0,b0)的离心率e1= 同理 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足MA-MB=6，则点M的轨迹方程是_. 【解析】由MA-MB=

4、6，且6AB=10， 得a=3,c=5,b2=c2-a2=16. 故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支. 方程为 =1(x3). 答案: =1(x3),2.双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点的坐标为_. 【解析】双曲线方程x2-2y2=1可化为 a2=1,b2= c2=a2+b2= c= 又焦点在x轴上，右焦点坐标为 答案:,3.若双曲线 (a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等 于实轴长，则该双曲线的离心率为_. 【解析】由已知得b=2a,c2=a2+b2=5a2, c= 离心率 答案:,4.已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到 另一个焦点的距离为_. 【

5、解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为： 所以a2=3， 又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为 4+ 或4- 答案：4+,5.已知双曲线 (a0,b0)的虚轴长为2，焦距为 则双曲线的渐近线方程为_. 【解析】依题意知：2b=2，2c= 所以b=1， 因此，双曲线的渐近线方程为： 答案：,6.已知双曲线C: (a0,b0)的离心率e=2,且它的一个 顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_. 【解析】由已知e= =2,c=2a. 又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1. 由得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3, 双曲线C的方程为 答案：,考向 1 双

6、曲线的定义 【典例1】(1)(2012辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则PF1+PF2的值为_. (2)已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.,【思路点拨】(1)利用双曲线定义得|PF1-PF2|=2a,再根据PF1PF2及勾股定理得PF12+PF22=F1F22=(2c)2, 联立方程求出PF1，PF2，从而求解. (2)根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间关系，得到动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.,【规范解答】(

7、1)不妨设PF1PF2. 由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1，c= 由双曲线定义得PF1-PF2=2a=2 由已知条件PF1PF2及勾股定理得 PF12+PF22=F1F22=(2c)2=8 上述两式联立，解得 故PF1+PF2= 答案：,(2)由椭圆的定义知: AC+AF=BC+BF， 又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 所以AC=13,BC=15,因此AF-BF=2, 所以F的轨迹是双曲线的一支， 其中c=7,a=1,b2=48, 因此所求轨迹方程为： (y-1).,【互动探究】本例题(1)中“PF1PF2”改为“F1PF2=60”， 结果如何？ 【解析】不妨设PF1

8、PF2， 由双曲线方程x2-y2=1,知a=b=1, c= 由双曲线定义得PF1-PF2=2a=2, PF12+PF22-2PF1PF2=4 又F1PF2=60,由余弦定理得： PF12+PF22-PF1PF2=F1F22=(2c)2=8 -得PF1PF2=4 ,代入得：PF12+PF22=4+2PF1PF2 =4+24=12.,【拓展提升】1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点.另外，还经常结合|PF1-PF2|2a，运用平方的方法，建立它与PF1PF2的联系. 2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点 应特别注意定义

9、中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量的范围.,【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P，Q两点，若PQ=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_. 【解析】因为x2-y2=8，所以2a= 由题设及双曲线的定义得:PF2-PF1= QF2-QF1= 所以PF2+QF2-PF1-QF1= 即PF2+QF2-PQ=,又因为PQ=7，所以PF2+QF2=7+ 因此,PF2Q的周长为 PF2+QF2+PQ=14+ 答案：14+,考向 2 双曲线的标准方程和几何性质 【典例2】(1)(2012

10、江苏高考)在平面直角坐标系中，若双曲 线 的离心率为 则m的值为_. (2)(2012湖南高考)已知双曲线C： (a0,b0)的 焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为_.,(3)(2012浙江高考改编)如图， F1,F2分别是双曲线C： (a0,b0)的左、右焦点，B是虚 轴的端点，直线F1B与C的两条渐 近线分别交于P,Q两点，线段PQ的 垂直平分线与x轴交于点M，若MF2=F1F2，则C的离心率是_.,【思路点拨】(1)结合c2=a2+b2及e= 求解. (2)利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质，由焦距为10， 求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b，

11、从而由a2+b2= c2，求出a，b，得方程. (3)利用双曲线的几何性质，结合图形的特征，通过求PQ的中点，再由MF2=F1F2构建关于a,b,c的方程，进而求解.,【解析】(1)c2=a2+b2=m+m2+4, m2-4m+4=0,m=2. 答案:2 (2) 的焦距为10， c=5= 又双曲线渐近线方程为y= 且P(2,1)在渐近线上， =1，即a=2b 由解得 所以方程为 答案:,(3)设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0); B(0,b),点F1，B所在直线为 双曲线渐近线方程为 由 得 由 得 线段PQ的中点坐标为,由a2+b2=c2得，线段PQ的中点坐标可化为 直线F

12、1B的斜率为k= 线段PQ的垂直平分线为 令y=0，得x= +c,M( +c,0), F2M= 由MF2=F1F2得 即3a2=2c2, 答案：,【拓展提升】 1.利用待定系数法设双曲线方程的技巧 (1)当双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设 为 (mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可 设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便. (2)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 =(0)，再根据其他条件确定的值.,2.双曲线的几何性质的关注点 (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点. (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线. (3)“两形”：中心

13、、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.,3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意 及判断焦点的位置. (2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，当焦点不确定时，m= 或m= 因此离心率有两种可能. 【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.,【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0. (1)求该双曲线的离心率. (2)若双曲线经过点P( 2)，求双曲线的方程. 【解析】(1)当焦点在x轴上时， 即 所以 解得 当焦点在y轴上时， 即 所以 解得 即双曲线的

14、离心率为 或,(2)由双曲线的渐近线方程为2x3y=0, 可设双曲线方程为4x2-9y2=(0). 双曲线过点P( 2), 46-94=,=-12, 故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12, 即,考向 3 双曲线与直线及其他圆锥曲线的综合 【典例3】(1)(2012新课标全国卷改编)等轴双曲线C的中心 在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两 点， AB 则C的实轴长为_. (2)(2013南通模拟)已知双曲线 (a0,b0)的两条 渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线与椭圆： 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_.,【思路点拨】(1)设出等轴双曲线方程，与抛物线准线方程联 立，求得A，B两点坐标，利用AB 构建方程求解. (2)先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的方 程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.,【规范解答】(1)不妨设点A的纵坐标大于零. 设C： (a0), 抛物线y2=16x的准线为x=-4, 联立得方程组 解得： 解得a=2,2a=4. C的实轴长为4. 答案:4,(2)圆C：x2+y2-6x+5=0可化为：(x-3)2+y2=4. 所以其圆心C(3,0),半径r=2, 双曲线 的渐近线方程是：bxay=0, 又渐近线与圆相切，所以 又椭圆 的焦点为(