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1、第1页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,信息论与编码原理,（第八章） 线性分组码,第2页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,第8章 线性分组码,8.1 一般概念 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 8.3 线性分组码的生成矩阵 8.4 线性分组码的编码 8.5 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 8.6 线性分组码的译码 8.7 线性分组码的性能 8.8 汉明码 8.9 由已知码构造新码的
2、方法 8.10 GSM 的信道编码总体方案 8.11 线性分组码的码限,第3页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.1 一般概念,(1) 线性分组码的编码：编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组, 每组由 k 位组成; 编码器按照预定的线性规则（可由线性方程组规定），把信息码组变换成 n 重（nk）码字，其中 (nk) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。 (2) 线性分组码的码字数：信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，有 2k 个码字与它们一一对应。,第4
3、页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.1 一般概念,(3) 术语 线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的码字 (nk)。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示： C=(cn1,cn1,c1,c0 ) (n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k /n。它说明了信道的利用效率，R 是衡量码性能的一个重要参数。,返回目录,第5页,2019/1
4、/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(1) 一致监督方程,(2) 举 例,(3) 一致监督矩阵,(4) 一致监督矩阵特性,第6页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(1) 一致监督方程 构成码字的方法：编码是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=nk) 个监督码元，使每个监督元是其中某些信
5、息元的模 2 和。 举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为： (c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0) c6,c5,c4为信息元，c3,c2,c1,c0为监督元，每个码元取“0”或“1” 监督元按下面方程组计算：,第7页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(1) 一致监督方程 一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验方程。 为什
6、么叫线性分组码？由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。,返回目录,第8页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(2) 举例 信息码组 (101)，即c6=1, c5=0, c4=1 代入 (7.2.1) 得： c3=0, c2=0, c1=1, c0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它 7 个码字如表8.2.1。,返回目录,第9页,2019/1/16,Depa
7、rtment of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(3) 一致监督矩阵 为了运算方便，将式(7.2.1)监督方程写成矩阵形式，得：,将式(8.2.2)可写成： H CT=0T 或 C HT=0 CT、HT、0T 分别表示 C、H、0 的转置矩阵。,第10页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(3) 一致监督矩阵 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (44) 阶单位子阵，
8、用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示：,第11页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(3) 一致监督矩阵 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=nk) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定：,返回,第12页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,(3) 一致监督矩阵 令上式的系数
9、矩阵为 H，码字行阵列为 C ：,返回目录,第13页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(4) 一致监督矩阵特性 对 H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，得到下面矩阵，行变换所得方程组与原方程组同解。 监督矩阵 H 的标准形式：后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵 H。,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,第14页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(4) 一致监督矩阵特性 H 标
10、准形式的特性 H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对应的码元的模 2 和为 0。 H 的标准形式表明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。例如 (7,3) 码的 H 阵的第一行为 (1011000)，说明第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模 2 和，依此类推。 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，由 H 所确定的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或 H 阵的 r 行）必须是线性独立的，这要求 H 阵的秩为 r。 若把 H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就能方便地确定 H 阵本身的秩。,8.2 一致监督方程和一致监督矩阵,参见方程,返回目
11、录,第15页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,8.3 线性分组码的生成矩阵,(1) 线性码的封闭性,(2) 线性分组码的生成矩阵,(3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系,(4) 对偶码,第16页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(1) 线性码的封闭性 线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 定理7.3.1：设二元线性分组码 CI (CI 表示码字集合) 是由监督矩阵H 所定义的
12、，若 U 和 V 为其中的任意两个码字，则 U +V 也是 CI 中的一个码字. 证明：由于 U 和 V 是码 CI 中的两个码字，故有：HU T=0T HV T=0T ，那么 H(U+V)T=H(U T+V T)=HU T+HV T=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是 GF(2) (二元域) 上的 n 维线性空间中的一点。所有 2n 个矢量集合构成了GF(2)上的 n 维线性空间 Vn。把线性码放入线性空间中进行研究，将使许多问题简化而比较容易解决。 (n,k) 线性码是 n 维线性空间 Vn 中的一个 k 维子空间 Vk。,8
13、.3 线性分组码的生成矩阵,返回目录,第17页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵的来由：在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中，一定存在 k 个线性独立的码字：g1,g2, gk。码 CI 中其它任何码字 C 都可以表为这 k 个码字的一种线性组合，即：,8.3 线性分组码的生成矩阵,第18页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,
14、(2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵定义：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码，称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。,8.3 线性分组码的生成矩阵,第19页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵G 的特性 G 中每一行 gi=(gi1,gi2, gin ) 都是一个码字； 对每一个信息组 m，由矩阵 G 都可以求得 (n,k) 线性码对应的码字。 (n,k) 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行矢量的线性组合，所以它的 2k 个码字构成了
15、由 G 的行张成的 n 维空间的一个 k 维子空间 Vk。,8.3 线性分组码的生成矩阵,第20页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(2) 线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 线性系统分组码的构成：通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵的标准形式。,8.3 线性分组码的生成矩阵,第21页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(2) 线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 线性系统分组
16、码定义：用标准生成矩阵 Gkn 编成的码字，前面 k 位为信息位，后面 r=nk 位为校验位，这种信息位在前校验位在后的线性分组码称为线性系统分组码。 当生成矩阵 G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。,8.3 线性分组码的生成矩阵,第22页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(2) 线性分组码的生成矩阵 举例：(7,4) 线性码的生成矩阵为：,8.3 线性分组码的生成矩阵,返回目录,第23页,2019/1/16,Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng,(3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系 由于生成矩阵 G 的每一行都是一个码字，所以 G 的每行都满足： Hr
