《数学分析》课件 （完整版）

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1、目录,第十章 数项级数 5 无穷级数与代数运 小结 第十一章 广义积分 1 无穷限广义积分 2 瑕积分 第十二章 函数项级数 第十三章 幂级数 1 幂级数的收敛半径与收敛区域 2 幂级数的性质 3 函数的幂级数展开 小结 第十四章 傅立叶级数 1 三角级数与傅立叶级数 2 傅立叶级数的收敛性 3 任意区间上的傅立叶级数 小结 第十五章 多元函数的极限与连续性 1 平面点集 2 多元函数的极限与连续性,目录,第十六章 偏导数与全微分 1 偏导数与全微分的概念 2 复合函数微分法 3 几何应用 4 方向导数 5 泰勒公式 小结 第十七章 隐函数存在定理 1 单个方程的情形 2 方程组情形 第十八章

2、 极值与条件极值 1 极值与最小二乘法 2 条件极值及Lagrange乘数法 第二十章 重积分 1 重积分的概念 2 重积分化累次积分 3 重积分的变量代换 4 曲面面积 第二十一章 曲线积分与曲面积分 1 第一型曲线积分与曲面积分 2第二型曲线积分与曲面积分 第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 1 各种积分间的关系 2 积分与路径无关 3 场论初步 第十七章第二十二章的小结 附录：二次型,第十章 数项级数,5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。,定理 10.19 若级数 收敛，其和为 ， 为自然数列， 则 亦

3、收敛于,1. 结合律,对于收敛级数，可任意加括号，即,2. 交换律,仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。,定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为,定理 10.21（Riemann),若级数 条件收敛，则经适当重排后，可使其和为任意的实数 ，或 ， ， ，或既不收敛，亦不发散于 。,3. 分配律,同样的，仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立,定理 10.22 (Cauchy) 若级数 ， 绝对收敛，其和分别为 ， ，则它们各项之积 按任意方式排列后所得的

4、级数亦绝对收敛，且和为,第十一章 广义积分,1 无穷限广义积分,定积分的两个限制,积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；,无穷限积分的定义,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。,P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。,1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。,类似地，

5、我们可以给出其它无穷积分的定义：,常用积分 线性：当 ， 均收敛时，,Chauchy 收敛原理,收敛 TH11.2 收敛 收敛。 Def . 绝对收敛 收敛； 条件收敛 发散而 收敛。,比较判别法I（直接比较）,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积， （1）若 ，当 时， 则 收敛 收敛； （2）若 ，当 时， 则 发散 发散。,比较判别法II（用极限比较）,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积，且 （1）若 ，则 收敛 收敛； （2）若 ，则 发散 发散。,比较判别法III（与 比较）,设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。 （1）若 则 收敛； 若 则 发散。 （2）若

6、则 时 收敛， 时 发散。,特别地，我们若可利用Taylor公式，求得,则,时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。,Question,我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？,积分第二中值定理,设 在 上可积， 在 上单调，则 特别地，若 单调上

7、升且 ，则 若 单调下降且 ，则,几何解释（ 情形）,两个收敛判别法,(Dirichlet) (Abel),两个有用的结果,习题 ( P.57 ),1. (2) (4) (5) 2. (1) (9) (10) (14) (16) 3. (1) (3) (5) 9.,2 瑕积分,Def 11.2 设函数 在 有定义，在任意区间 上可积，在 无界。若 存在，则称瑕积分 收敛，且积分值为该极限值，记为 若 不存在，则称瑕积分 发散。,P.S. 发散时只是一个符号，不表示一个数值。,1. 若 为瑕点， 2. 若 为瑕点，则当 ， 均收敛时，定义,类似地，瑕点非左端点的瑕积分的定义为：,常用积分 线性：

8、当 瑕积分 ， 均收敛时，,暇积分与无穷限积分的关系,设 有唯一瑕点 ，令 ，我们有 如是，我们可以将无穷限积分的性质推广至瑕积分中来。下面，我们不加证明地把关于瑕积分的收敛判别法列举出来。,Chauchy 收敛原理,设 有唯一瑕点 收敛 TH11.2 收敛 收敛。 Def . 绝对收敛 收敛； 条件收敛 发散而 收敛。,比较判别法I（直接比较）,设 有唯一瑕点 （1）若 ，当 时， 则 收敛 收敛； （2）若 ，当 时， 则 发散 发散。,比较判别法II（用极限比较）,设 有唯一瑕点 且 （1）若 ，则 收敛 收敛； （2）若 ，则 发散 发散。,比较判别法III（与 比较）,设 有唯一瑕点

9、 （1）若 则 收敛； 若 则 发散。 （2）若 则 时 收敛， 时 发散。,设 有唯一暇点,(Dirichlet) (Abel),习题 ( P.64 ),1. 2. (1) (3) (9) (11) (12) 3. (1) (7) 4. (2) 5. (1),第十二章 函数项级数,对于非初等函数，我们通常可以将之表为函数项级数的形式。在本章中，我们主要研究这类函数的连续性，可导性及可积性。,考虑 ， ，定义,和函数的连续性，可积性条件,若 在 连续， 在 一致收敛于 ，则 （1） 在 连续； （2） 即此时无穷和与极限，积分均可交换。,和函数的可导性,若 在 有连续的微商 ， 在 逐点收敛于

10、 ， 在 一致收敛于 ，则 即此时无穷和与求导可交换。,第十三章 幂级数,幂级数应用非常广泛，比如：概率统计的离散型随机变量；利息理论（利息理论在化学，生物，医学，考古，金融，贸易等诸多领域应用非常广泛）,1 幂级数的收敛半径与收敛区域,幂级数：形如 的级数，其中常数 称为幂级数的系数。 Remark： 1. 作平移 后，级数可化为 故我们以后只研究形如 的幂级数； 2. 幂级数必须严格按升幂排序，如 并非幂级数。,Abel第一定理,若幂级数 在点 处收敛，则当 时， 绝对收敛；若 在点 处发散，则当 时， 发散。,收敛半径,Th 13.2 对任意幂级数 在 时绝对收敛，在 时发散，称此 为

11、的收敛半径。 Th 13.3 若 满足 则 的收敛半径 （约定： ）,习题 ( P.98 ),1. (6) (8) (9) (10) (11) (14) (16),2 幂级数的性质,（Abel 第二定理） 设幂级数的收敛半径 ，有 （1） 幂级数在 一致收敛； （2）若幂级数在 收敛，则幂级数在 一致收敛； （3）若幂级数在 收敛，则幂级数在 一致收敛。,幂级数的连续性，可导性，可积性,设 的收敛半径为 ，则 （1） 在 连续，任意次可微，且逐项 可微，逐项可积。即,且（*），（*）的收敛半径仍为 。 （2）若 在 时收敛， 则 在 连续。,习题 ( P.102 ),3. (1) (3) (7

12、) (10) 5. (1),3 函数的幂级数展开,若幂级数 在 收敛到 ，即 则称 在 可以展开为幂级数。 类似地，若 则称 在 可以展开为幂级数。,幂级数展开的唯一性,(1) 若 在 可展开为幂级数 则 (2) 若 在 可展开为幂级数 则,通常称 为 的Maclaurin级数， 为 在 点的Taylor级数。,Recall,若 在 无穷次可微，则有 Taylor 公式 其中,幂级数展开的条件,（充要条件） （必要条件） 无穷次可微 （充分条件）若 的各阶微商在 一致有界，即 则,常用Taylor级数,Question,对于展式（ N ） 证明：当 时，收敛域 ； 当 时，收敛域 ； 当 时，

13、收敛域为 。,习题 ( P.110 ),1. (1) (2) (8) (10) (14) 3. (1) (4) 4.,第十四章 傅立叶级数,Fourier级数是Fourier在研究热学时引入的，现今在光学，电磁学，辐射等方面已必不可少，另外，在近代概率论，分形理论中也有重要的应用。,1 三角级数与傅立叶级数,我们尝试将 展为 因为 ， 均以 为周期，故我们先讨论以 为周期的 。 命题 1 若 周期为 ，则对任意的 ，有,三角函数系,Def. 三角函数系为集合 Th 14.1 三角函数系中任意两个不同函数的乘积，在区间 上的积分为 0 ，即,函数空间的直角坐标系,于是，倘若我们在某类以 为周期的函数空间中定义内积