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1、7.3,弯曲应力及强度,第三节 平面弯曲时梁的 应力及强度计算,3.1 纯弯曲及其变形,3.2 纯弯曲时梁截面上的正应力,3.3 横力弯曲时梁截面上的正应力,弯曲正应力强度条件,3.4 横力弯曲时梁截面上的切应力,弯曲切应力强度条件,3.5 提高梁弯曲强度的主要措施,纯弯曲及其变形,一.概念:,FQ=0 M= C,已知是横截面上的正应力组成了M，但如何分布、大小都是未知，所以求解应力的问题属静不定问题。,首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题，,1.实验观察,二.实验及假设,横向线偏转夹角d,纵向线弯曲,缩短,伸长,( = 0),变弯,偏转,中性轴-中性层与横截面的交线(z),中性层曲率-1/,中
2、性轴,中性层,纵向对称面,2.推理假设,1）平面假设-变形前为平面的横截面变形后仍为平面,且垂直于变形后的轴线,=0 得 =0,2）纵向纤维互不挤压(纵向纤维间无),等截面直梁在纯弯时,横截面上只 产生正应力.,结 论,中性轴,z,纯弯曲时梁横截面上的正应力,一.变形几何关系（应变-位移）,纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正,沿y轴线性分布。,结 论,设 p Et=Ec=E,二.物理关系( ),横截面上 沿y 轴线性 分布，中性轴上 = 0.,结 论,三.静力关系,将平行力系dA向形心简化,得到FN , My , Mz,将 代入（a） 得,令,Sz 为A对z轴的静矩；,为A的形心在 y 轴
3、上坐标；,故,因为,得,又可表示为,z轴（中性轴）过横截面形心。,结 论,将 代入（b),令,为A对y,z 轴的惯性积,显然若y,z 轴中有一个为对称轴则 Iyz = 0,由于y 轴为对称轴，必然有,Iyz = 0,自然满足。,结 论,将 代入（c),令,Iz 为A 对z 轴的惯性矩,于是,得,代入 得,常用图形y、Iz,同理：,1.矩形,同理：,2.圆形,由定义知：,适用条件:,1.平面弯曲；,2.纯弯曲；,3. p , Et = Ec；,4.等截面直梁；,5.截面形状任意.,横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件,一.横力弯曲,FQ ,M ,横截面翘曲,当FQ=C各横截面翘曲相同
4、,用公式,计算仍是完全正确的,结 论,当FQ C 各横截面翘曲不相同,理论分析与实验表明,当 l / h 4 用公式,计算,其影响小于1.7，工程上是完全允许的。,q,结 论,纯弯曲 等截面 直梁,条件放松,公式推广,结 论,1.塑性材料,二.弯曲正应力强度条件,当梁为变截面梁时, max 并不一定发生 在| M |max 所在面上.,注意,等截面梁,令Iz /ymax=Wz Wz 抗弯截面系数,常用图形Wz,2.脆性材料 因为: t c 所以分别建立强度条件,当截面中性轴不对称时，最大正弯矩和 最大负弯矩所在截面，都是危险截面。,注意,3.应用强度条件计算,强度条件解决三类问题,步骤,1.画
5、M 图, 确定危险截面 Mmax.,三. 计算,脆：二个危险截面,塑：一个危险截面,2.画 分布, 确定危险点.(只对脆性材料) ,例2 已知 3a=150mm,=140MPa. 求F,解：,1.画M 图 Mmax,Mmax=MB=Fa,2.应用强度条件计算,求F,例2 已知 F=50kN, G1=6.5kN, q为梁自重, l=10m, =140MPa，试选择工字钢截面.,解：先按F+G1选截面,1.画M 图 Mmax,2.应用强度条件计算,查表 40a工字钢 Wz = 1090 cm3,满足强度条件,3. 检验,q = 67.6 N/m.,例3 已知 q=2kN/m, l=2m,分别采用截
6、面面积相等的实心和空心圆截面，D1=40mm, d2/D2=3/5,求（1)实，空（2)(空- 实)/实,解：1. 画M 图,实心圆截面,2.应力计算,空心圆截面,例5 已知t=30MPa, c=160MPa, Iz=763cm4 , y1=52mm. 试校核梁的强度.,解:,FAy=2.5kN FBy=10.5kN,1. 画M 图,B, C 截面危险截面,2. 画 分布,B截面：,3.强度计算,y2=120+2052=88mm,C截面:,故满足强度条件,横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件,一.矩形截面,1.假设 的分布:,且方向同FQ , 沿b 均布,2.的公式推导,切dx段，
7、,取出r,p,m,n,F,令,S*为A* 对z 轴的静矩,F,同理,将F1, F2 代入,得, 沿y 轴抛物线分布,当y = 0 时,对某一截面而言, 随Sz*变,切应力的分布,FQ,切应力互等定理,连接件将金属板条与混凝土板联接在一起,二.工字形截面,FQ,翼缘,腹板,min,max,FQ,z,B,三.弯曲切应力强度条件,对于等直梁,四.需要对切应力进行强度校核的情况,1.短梁和集中力靠近支座,2.木梁,3.焊,铆或胶合而成的梁,4.薄壁截面梁,解:作FQ , M 图,例5 已知F, b, h, l . 求,发生在固定端上边缘,发生在任意截面的中性轴上,当F/h 5时， max /max 2
8、0 此情况下，弯曲切应力是次要的。,例6:(1)两个相同材料的矩形截面叠梁.设两梁间无摩檫,求,max,解:每梁的变形相同，各 梁在自由端处所受外力均为F/2，Mmax =Fl / 2,F,(2)在自由端有一直径为d 的螺栓,求max及 螺栓截面的FQ1,解:1.两梁作为一整体,故,Mmax =Fl,加螺栓后，强度提高。,由切应力互等定理知,中性层面有均匀分布的max,在中性轴处有垂直中性轴max,其合力与FQ1平衡,即,2.求螺栓截面的剪力FQ1,例7 三根材料相同的木板胶合而成的梁， l=1m, b=100mm, h=50mm. 胶=0.34MPa, 木=10MPa，木=1MPa。试求许可
9、载荷。,解:,比较得,F移到C点时,1. F移到AB中点时,2. 胶合面剪切强度条件,3. 梁的正应力强度条件,梁的切应力强度条件,5.5 提高弯曲强度的主要措施,弯曲强度主要取决于max,一.合理安排梁的受力情况, 合理设计和布置支座,2.将集中载荷适当分散,3.集中载荷尽量靠近支座,二.合理的截面设计,塑性材料 t= c， 应尽量制成对称截面，使面积分布远离中性轴，由,知，在不增加面积的情况下，Wz越大越好，以矩形截面为例,显然，增大h可提高强度。,2.脆性材料t c, 使,尽量制成截面对中性轴不对称,放置时使靠近中性轴边缘受拉,三.等强度梁的概念,如使各截面上危险点的应力都同时达到许用应力,则称该梁为等强度梁.,根据等强度梁的要求, 应有:,即,h=c,b=c,谢谢！,
