线性系统的状态综合(一)

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1、本 章 简 介 本章讨论线性系统的系统综合问题 主要介绍状态空间分析方法在系统控制与综合中的应用，主要内容为 状态反馈与极点配置 系统镇定 系统解耦（介绍） 状态观测器。,第四章 线性系统的状态综合,目 录 4.1 引言 4.2 状态反馈与输出反馈 4.3 极点配置 4.4 系统镇定 4.5 系统解耦（介绍） 4.6 状态观测器 本章小结,4.1.1 问题的提出 系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对已知系统结构和参数，以及确定好系统的外部输入(系统激励)下，对系统运动进行定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 而系统综合问题为已知系统系统结构和参数，以及所期望的系统运动形式或关于系统

2、运动动态过程和目标的某些特征，所需要确定的是则需要施加于系统的外部输入的大小或规律。,4.1 引言,必须考虑三个方面的因素： 1)抗外部干扰问题； 2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题； 3)控制规律的工程实现问题。,一般情况下，控制理论发展与控制系统设计的追求目标为解析的反馈控制作用规律(反馈控制律)。 对复杂的动力学被控系统，在解析反馈控制规律难于求解的情形下，需要求系统的数值反馈控制规律或外部输入函数的数值解序列(开环控制输入)。,4.1.2 工程实现中的一些理论问题 状态获取问题 对状态反馈控制系统，要实现已求解的状态反馈规律，需要获取被控系统的状态信息

3、，以构成反馈。 但对许多实际系统，所考虑的状态变量是描述系统内部信息的一组变量，可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。 这就需要基于状态观测理论，根据系统模型，利用直接测量到的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。 相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题。,建模误差和参数摄动问题 对系统综合问题，首先需建立一个描述系统动力学特性的数学模型。 并且，系统分析与综合都是建立在模型基础上的。 系统模型是理想与现实，精确描述与简化描述的折中，任何模型都会有建模误差。 此外，由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂性，系统的动力学特性会产生缓慢变化。 这种变化在一定程度上可视为系统模型的参数摄动

4、。,这样，基于理想模型综合得到的控制器，运用于实际系统中所构成的闭环控制系统，对这些建模误差和参数摄动是否具有良好的抗干扰性(不敏感性)，是否使系统保持稳定，是否使系统达到或接近预期的性能指标成为控制系统实现的关键问题。,下面，本章将就这些系统综合的主要问题，如 极点配置 镇定 解耦（介绍） 观测器问题 基于状态反馈理论作细致讨论。,控制理论最基本的任务是，对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统，即寻找反馈控制律。 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略，其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律，实现对系统的闭环控制，以达到期望的对系统的性能指标要

5、求。 在经典控制理论中，一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。 在现代控制理论的状态空间分析方法中，多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。,4.2 状态反馈与输出反馈,本节讨论的主要问题： 基本概念: 状态反馈、输出反馈 基本性质: 反馈闭环系统的能控性/能观性 本节的讲授顺序为: 状态反馈的描述式 输出反馈的描述式 闭环系统的状态能控性和能观性 由于线性定常离散系统状态空间模型以及能控性判据的类同性，因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。,重点！,4.2.1 状态反馈的描述式 对线性定常连续系统(A,B,C)，若取系统

6、的状态变量来构成反馈，则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。 状态反馈闭环系统的系统结构可如图4-1所示,图4-1 状态反馈系统的结构图,其中K为rn维的实矩阵，称为状态反馈矩阵；v为r维的输入向量，亦称为伺服输入。 将状态反馈律代入开环系统方程， D=0则可得如下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型：,状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为,状态反馈闭环系统可简记为K(A-BK,B,C)，其传递函数阵为: GK(s)=C(sI-A+BK)-1B,4.2.2 输出反馈的描述式 对线性定常连续系统(A,B,C)，若取系统的输出变量来构成反馈，则所得

7、到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。 输出反馈控制系统的结构图如图4-2所示。,图4-2 输出反馈系统的结构图,与状态反馈有何不同?,输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为,其中H为rm维的实矩阵，称为输出反馈矩阵。 将输出反馈律代入开环系统方程，则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型：,输出反馈闭环系统可简记为H(A-BHC,B,C)，其传递函数阵为: GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知，输出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 因此，在进行系统分析时，输出反馈可看作状态反馈的一

8、种特例。 反之，则不然。 由此也可知，状态反馈可以达到比输出反馈更好的控制品质，更佳的性能。,4.2.3反馈控制对能控性与能观测性的影响 对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统，其状态能控/能观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。 下面分别讨论两种闭环系统的 状态能控性 状态能观性,1. 闭环系统的状态能控性 由状态能控性PBH秩判据，被控系统(A,B,C)采用状态反馈后的闭环系统K(A-BK,B,C)的能控性可由条件 rankI-A+BK B=n 来判定，而,上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例，故输出反馈亦不改变系统的状态能控

9、性。,2. 闭环系统的状态能观性 对被控系统(A,B,C)有如下结论: 采用输出反馈构成的闭环系统H(A-BHC,B,C)后状态能观性不变，即 输出反馈不改变状态能观性。,对于采用状态反馈构成的闭环控制系统K(A-BK，B,C)，状态能观性可能发生变化，即： 状态反馈可能改变状态能观性。 该结论可先由下面的例子来说明，在后述的极点配置部分再详细讨论。 例4-1 设线性定常系统的状态空间模型为,并设状态反馈阵K=3 1和输出反馈H=2。 试分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统的状态能控/能观性。,解 1. 因为开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为,所以开环系统为状态能控又能观的。

10、 2. 经状态反馈u=-Kx+v后的闭环系统的状态方程为,其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为,所以状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的，即状态反馈可能改变系统的状态能观性。 3. 经输出反馈u=-Hy+v后的闭环系统的状态方程为,其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为,所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的。,4.3 极点配置,本节讨论如何利用状态反馈来进行线性定常连续系统的极点配置，即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题，有完全平行的结论和方法。,对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 因此在进行系

11、统设计时，设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点，可以有效地改善系统的性能。 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域法还是根轨迹法，都是通过改变极点的位置来改善性能指标，本质上均属于极点配置方法。,本节所讨论得极点配置问题，则是指如何通过状态反馈阵K的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。,由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式，因此考虑到问题的可解性，对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统，可以而且必须给出n个期望的极点； 2) 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭

12、复数； 3) 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。,基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统,确定反馈控制律,使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立,本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。,4.3.1 采用状态反馈配置闭环系统极点,在进行极点配置时，存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件，则是可以进行极点配置的。 下面的定理就回答了该问题。 定理6-1 对线性定常系统(A

13、,B,C)利用线性状态反馈阵K，能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。,4.3.2 系统状态反馈极点配置的算法,方法一 标准算法,该算法适用系统维数n等于或大于4，控制矩阵中非零元素比较多的情况，所有的矩阵计算都可由计算机实现。具体可按下面步骤完成。 1.考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。 2.利用系统矩阵A的特征多项式,确定出,3确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P =I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩阵P 可给出，即,其

14、中Qc为能控性矩阵，即,Qc=B AB An-1B,P =QcW,5此时的状态反馈增益矩阵 为,4利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为,确定出,方法二 解联立方程,如果是低阶系统(n3)，则将线性反馈增益矩阵K直接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n = 3，则可将状态反馈增益矩阵K写为,进而将此 代入闭环系统的特征多项式 使其等于期望的闭环极点 即,由于该特征方程的两端均为s的多项式，故可通过使其两端的同次幂系数相等，来确定K1,K2,K3的值。如果n = 2或者n = 3，这种方法非常简便（对于n =4,5,6,，这种方法可能非常繁琐）。,由于状态变量是描述系统内

15、部动态运动和特性的，因此对实际控制系统，它可能不能直接测量，更甚者是抽象的数学变量，实际中不存在物理量与之直接对应。 若状态变量不能直接测量，则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值，再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。,例4-2 考虑如下线性定常系统 利用状态反馈控制 ，希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10，试确定状态反馈增益矩阵K。,解：(1)首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：,rankQc = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。,c,方法1：(2)该系统的特征方程为：,因此,(3)期望的特征方程为,可得,因此

16、,方法2：(2)设期望的状态反馈增益矩阵为,并使 和期望的特征多项式相等，可得,(3)使其两端的同次幂系数相等,因此,可得,4.3.3 输出反馈极点配置 由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反馈也称之为部分状态反馈。 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。 故欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。,4.4 系统镇定,受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳定,这样的问题称为镇定问题。 能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。 镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。 镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标;,最后,稳定