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1、1.4 线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程,一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法,代入(1)得,积分得,注 求(1)的通解可直接用公式(3),解:,将方程改写为,首先,求齐次方程,的通解,从,分离变量得,两边积分得,故对应齐次方程通解为,其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即,积分得,故通解为,解:,但将它改写为,即,故其通解为,解:,先求原方程的通解,故所给初值问题的通解为,形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理,Bernoulli (1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式
2、,1695年,猜度术,则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出版了他的巨著,这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外, 他对双纽线, 悬链,线和对数螺线都有深入的研究.,解:,解以上线性方程得,例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,二 线性微分方程的应用举例,电路的Kirchhoff第二定律:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为,解线性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:,故当开关K合上后,电路中电流强度为,例2 湖泊的污染,设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，,这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20,立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流,入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀,的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污,1年时, 湖泊水中盐酸的含量.,解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为,因此有,该方程有积分因子,积分得,利用初始条件得,故,
