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1、第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数、极限与连续,第一章,二、两个常用的不等式,三、函数,一、邻域,第一节,函 数,四、初等函数,首先回顾一下中学所学过的有关,集合、数集、函数的概念。,集合的概念,集合,具有某种特定性质的事物的总体.,元素,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,集合与元素的关系:,由无限个元素组成的集合称为无限集.,由有限个元素组成的集合称为有限集.,集合举例,年在福建地区出生的人.,集合的概念,集合举例,年在福建地区出生的人.,全体奇数.,集合表示方法,例举法:,重复地列出集合的所有元素.,例如,集合的概念,例举法:,重复地列出集合的
2、所有元素.,例如,可记为,可记为,描述法:,所具有的特征,集合的概念,描述法:,所具有的特征,可记为,全体奇数的集合, 可记为,集合之间的关系,若,则称 是 的子集,记为,就称集合 和 相等,若,且,集合的概念,就称集合 和 相等,若,且,记为,例如,记为,则称集合 是 的真子集,若,且,空集,不包含任何元素的集合,记为,规定:,例如,空集为任何集合的子集.,集合的概念,规定:,空集为任何集合的子集.,数集分类:,自然数集,实数集,整数集,有理数集,数集间的关系:,注:,如无特别说明,本课程中提到的数都是实数.,数集,元素都是数的集合称为数集.,集合的运算,定义,当所研究的问题限定在一个大的集
3、合 中进行,所研究的其他集合 都是 的子集.,定义 的余集,集合的运算,当所研究的问题限定在一个大的集合 中进行,所研究的其他集合 都是 的子集.,定义 的余集,或补集,例如,在实数集 中,集就是,或,集合的基本运算规律,则有下列法则成立:,交换律,结合律,分配律,对偶律,证,且,且,集合的基本运算规律,证,且,且,注,以上证明中,另一个,表示“推出”(或“蕴含”).,任取,组成,一个有序对,以这样的有序对的全体组成的,记为,集合称为集合 与集合 的直积,集合的基本运算规律,任取,组成,一个有序对,以这样的有序对的全体组成的,记为,集合称为集合 与集合 的直积,且,如,即为,面上全,体点的集合
4、,常记作,区间,定义,介于某两个实数之间的全体实数称为区间,这两个实数叫做区间的端点.,设,且,定义,开区间,闭区间,半开区间,无限区间,特别地,区间,无限区间,特别地,区间的长度,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,在本书中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、 是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并 常用I表示。,一、邻域的概念,定义,设 与 是两个实数,且,数集,称为点 的 邻域.,记为,其中,叫做该邻域的半,径.,点 叫做该邻域的中心,记为,即,点 的去心的 邻域,以 为中心的任何开区间均是点 的邻域,一、邻 域的概念,另外，今后还将用到以下的左、右邻域概念.,开区间,称为 的右 邻域,开区间 称为 的左 邻域,二、两个重要的不等式,三角不等式,对于任意的实数 和 , 都有,平均值不等式,对于任意 个正数 ,恒有,当且仅当 全部相等时,上式等号才成立。,二、两个重要的不等式,伯努利不等式,这几个不等式在极限存在的证明中经常用到，,对于正整数 和实数 ,恒有,因此要牢牢记住。,当 且 时, 不等式严格成立.,
