《第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 第三课时 定点、定值、探索性问题 课堂 考点突破 考点一 典题例析 解： ( 1) 圆 M 的圆心为 ( 3,1) ，半径 r 3 . 由题意知 A ( 0,1) ， F ( c, 0) ， 直线 AF 的方程为xc y 1 ，即 x cy c 0 ， 由直线 AF 与圆 M 相切，得|3 c c |c2 1 3 ， 解得 c2 2 ， a2 c2 1 3 ， 故椭圆 C 的方程为x23 y2 1. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 (2) 证明： 法一： 由 AP AQ 0 知
2、AP AQ ，从而直线 AP 与坐标轴不垂直，故可设直线 AP 的方程为 y kx 1 ，直线 AQ 的方程为 y 1kx 1. 联立方程组y kx 1 ，x23 y2 1 ，整理得 (1 3 k2) x2 6 kx 0 ， 解得 x 0 或 x 6 k1 3 k2， 故点 P 的坐标为 6 k1 3 k2，1 3 k21 3 k2 ， 同理，点 Q 的坐标为6 kk2 3，k2 3k2 3， 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 直线 l 的斜率为k2 3k2 31 3 k21 3 k26 kk2 3 6 k1 3 k2k2 14 k， 直线 l 的方程为
3、 y k2 14 kx 6 kk2 3k2 3k2 3， 即 y k2 14 kx 12. 直线 l 过定点0 ，12. 法二 ：由 AP AQ 0 知 AP AQ ，从而直线 PQ 与 x 轴不垂直，故可设直线 l 的方程为 y kx t ( t 1) ， 联立得y kx t，x23 y2 1 ，第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 整理得 (1 3 k2) x2 6 ktx 3( t2 1) 0. 设 P ( x1， y1) ， Q ( x2， y2) ，则 x1 x2 6 kt1 3 k2，x1x23 t2 1 1 3 k2，(*) 由 (6 kt )
4、2 4(1 3 k2) 3( t2 1) 0 ，得 3 k2 t2 1. 由 AP AQ 0 ， 得 AP AQ ( x1， y1 1) ( x2， y2 1) (1 k2) x1x2 k ( t 1)( x1 x2) ( t 1)2 0 ， 将 (*) 代入，得 t12. 直线 l 过定点0 ，12. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 演练冲关 解： (1) 由 c 1 ， a c 1 ，得 a 2 ， b 3 ， 故椭圆 C 的标准方程为x24y23 1. (2) 由y kx m ，3 x2 4 y2 12 ，消去 y 得 (3 4 k2) x2 8
5、 kmx 4 m2 12 0 ， 64 k2m2 4(3 4 k2)(4 m2 12) 0 ，即 m2 3 4 k2. 设 P ( xp， yp) ，则 xp4 km3 4 k24 km， yp kxp m 4 k2m m 3m，即 P4 km，3m. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 M ( t, 0) ， Q (4,4 k m ) ， MP 4 km t，3m， MQ (4 t, 4 k m ) ， MP MQ 4 km t (4 t ) 3m (4 k m ) t2 4 t 3 4 km( t 1) 0 恒成立，故t 1 ，t2 4 t 3 0 ，
6、即 t 1. 存在点 M (1,0) 符合题意 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 考点二 典题例析 证明： (1) 依题意可设直线 AB 的方程为 y kx 2 ，代入 x2 4 y ，得 x2 4( kx 2) ，即 x2 4 kx 8 0. 设 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，则有 x1x2 8 ， 直线 AO 的方程为 y y1x1x ， BD 的方程为 x x2. 解得交点 D 的坐标为x x2，y y1x2x1.注意到 x1x2 8 及 x21 4 y1， 则有 y y1x1x2x21 8 y14 y1 2 ， 第三课时
7、定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 因此动点 D 在定直线 y 2( x 0) 上 (2) 依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0 ，设切线 l 的方程为 y ax b ( a 0) ，代入 x2 4 y 得 x2 4( ax b ) ， 即 x2 4 ax 4 b 0 ， 由 0 得 (4 a )2 16 b 0 ，化简整理得 b a2. 故切线 l 的方程可写为 y ax a2. 分别令 y 2 ， y 2 得 N1， N2的坐标为 N12a a, 2 ，N22a a ， 2 ， 则 | MN2|2 | MN1|22a a2 422a a2 8 ， 即 | M
8、N2|2 | MN1|2为定值 8. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 演练冲关 解： (1) 抛物线的焦点 F 满足 FA FB FC 0 ， AF FB FC ， 取 BC 边上的中点 M ，连接 FM ，则 AF 2 FM ， 故点 F 在直线 l 上 在 mx ny m 0 中，令 y 0 ，得 x 1 ， 得抛物线的焦点 F (1,0) ，于是p2 1 ， p 2. (2) 证明：记 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， C ( x3， y3) ， 由 FA FB FC 0 知： x1 x2 x3 3 ， 且 y2i 4 xi
9、( i 1,2,3) 于是 S21 S22 S2314( y21 y22 y23) x1 x2 x3 3 ， S21 S22 S23为定值 3. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 考点三 典题例析 解： (1) 设 F1( c, 0) ， F2( c, 0) ，其中 c2 a2 b2. 由| F1F2| DF1| 2 2 ，得 | DF1| F1F2|2 222c . 由 DF1 F1F2， 得 S DF1F212| DF1| F1F2|22c222， 故 c 1 ，从而 | DF1|22， 故 | DF2|2 | DF1|2 | F1F2|292，因此
10、 | DF2|3 22. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 所以 2 a | DF1| | DF2| 2 2 ， 故 a 2 ， b2 a2 c2 1. 因此，所求椭圆的标准方程为x22 y2 1. (2) 如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22 y2 1 相交， P1( x1， y1) ， P2( x2， y2) 是两个交点， y10 ， y20 ，F1P1， F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1 F2P2. 由圆和椭圆的对称性，易知， x2 x1， y1 y2. 由 (1) 知 F1( 1,0) ， F2(1,0) ， 所以FP11 ( x
11、1 1 ， y1) ，FP22 ( x1 1 ， y1) 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 再由 F1P1 F2P2，得 ( x1 1)2 y21 0. 由椭圆方程得 1 x212 ( x1 1)2， 即 3 x21 4 x1 0 ，解得 x143或 x1 0. 当 x1 0 时， P1， P2重合，此时题设要求的圆不存在 当 x143时，过 P1， P2分别与 F1P1, F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C . 设 C (0 ， y0) ，由 CP1 F1P1，得y1 y0x1y1x1 1 1. 而 y1 | x1 1| 13，故 y053. 圆 C
12、 的半径 | CP1| 432135324 23. 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x2y 5323 29. 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 演练冲关 解： (1) 当 M 的坐标为 (0 ， 2) 时，设过 M 的切线方程为 y kx 2 ， 联立x2 8 y ，y kx 2 ，整理得 x2 8 kx 16 0 ， 令 ( 8 k )2 4 16 0 ，解得 k 1 ， MA MB ， 将 k 1 代入方程 得 x 4 ， 可取 A (4,2) ， B ( 4,2) ， 点 M 到 AB 的距离为 4 ， 过 M ， A ， B 三点的圆的圆心
13、为 F (0,2) ， r 4 ， 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学 结束 圆的标准方程为 x2 ( y 2)2 16. 又圆心 (0,2) 到直线 l： y 2 的距离 d 4 r ，因此，圆与直线 l：y 2 相切 (2) 设切点 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，直线 l 上的点为 M ( x0， y0) ，过抛物线上点 A ( x1， y1) 的切线方程为 y y1 k ( x x1) ， y 14x ， kMA y | x x114x1， 从而过抛物线上点 A ( x1， y1) 的切线方程为 y y1x14( x x1) ，又切线过点 M ( x0， y0) ， y0x14x0x218，即 x21 2 x0x1 8 y0 0 ， 第三课时 定点、定值、探索性问题 质量铸就品牌 品质赢得未来 数学
