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1、1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理(3),复习回顾:,两个计数原理的内容是什么? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧?,例1 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？,N1010101010000（种）,例2 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,第一步：选1人上日班；,第二步：选1人上晚班.,有3种方法,有2种方法,N326（种）,例3 某班有5人会唱歌，另有4人会跳舞，还有2人能歌善舞，从中任选1人表演一个节目，共可表演多少个节目？,N542213（种）,第1类：从会唱歌
2、者中选1人唱歌；,第2类：从会跳舞者中选1人跳舞；,第3类：从能歌善舞者中选1人唱歌 或跳舞；,例4 从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛，其中数学2人，理、化各1人，求共有多少种不同的选法？,5种,4种,3种,N54360（种）,例4 有架楼梯共6级，每次只允许上一级或两级，求上完这架楼梯共有多少种不同的走法？,第1类：走3步第2类：走4步第3类：走5步第4类：走6步,N165113（种）,例6 由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的三位数？,5种,4种,5种,N554100（种）,例7 在1，2，3，200这些自然数中，各个数位上都不含数字8的自然数共有多少个？,不含8的一
3、位数 不含8的二位数 不含8的三位数,N87282162（个）,N5433180（种）,5,4,3,3,例9 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少种不同的染色方法？,涂S点 涂A点 涂D点 涂B、C点,N5437420（种）,例10 从3，2，1，0，1，2，3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，问这样的抛物线共有多少条？,c取值a取值b取值,N3319（种）,c1 a0 b0,例11 某4名田径运动员报名参加100m，200m和400m三项短跑比赛. （1）每人
4、限报1个项目，共有多少种不 同的报名方法？ （2）每人至少报1个项目，且每个项目限报1人，共有多少种不同的报名方法？,（1）3481种；,（2）4396种.,例12 630的正约数（包括1和630）共有多少个？,63023257,正约数:2a3b5c7d,232224（个）,例13 将20个大小相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，求共有多少种不同的放法？,151421120（种）,例14 某电视节目中有A、B两个信箱，分别存放着先后两次竞猜中入围的观众来信，其中A信箱中有30封来信，B信箱中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信箱中抽取1名幸运
5、观众，再由该幸运观众从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴，求共有多少种不同的可能结果？,302920201930 174001140028800（种）,练习：,三个比赛项目，六人报名参加。 ）每人参加一项有多少种不同的方法？ ）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ ）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？,例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?,升华发展,一、排数字问题,1、将数
6、字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_种,引申:,号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。 所以共有3*3*1=9种不同的方法。,二、映射个数问题:,例2 设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从A到B共有多少种不同的映射?,三、染色问题:,例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色. (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求
7、n (1) (2),、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。,、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,若用2色、4色、5色等,结果
8、又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。,思考：,分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。,解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5432120种方法。,根据分类计数原理，共有120+60180种方法。,第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有
9、5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有54360种方法。,、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.（以数字作答）,（1）与同色，则也同色或也同色，所以共有 N1=43221=48种；,所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.,（2）与同色，则或同色，所以共有 N2=43221=48种；,（3）与且与同色，则共N3=4321=24种,解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
10、,6、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）,42,5、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？,四、子集问题,规律：n元集合 的不同子集有个 。,例：集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为 。,五、综合问题:,例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共
11、有多少条?,、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?,解:由于 75600=2433527,75600的每个约数都可以写成 的形式,其中 , , ,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5432=120个.,解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。,3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）对 A.12 B.24 C.36 D.48,B,
