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1、目 录,第一章 量子力学的诞生 第二章 波函数和 Schrodinger 方程 第三章 一维定态问题 第四章 量子力学中的力学量 第五章 态和力学量表象 第六章 近似方法 第七章 量子跃迁 第八章 自旋与全同粒子 附录 科学家传略,第一章 量子力学的诞生,1 经典物理学的困难 2 量子论的诞生 3 实物粒子的波粒二象性,1 电子的自旋 2 电子的自旋算符和自旋波函数 3 简单塞曼效应 4 两个角动量耦合 5 光谱精细结构 6 全同粒子的特性 7 全同粒子体系波函数 Pauli 原理 8 两电子自旋波函数 9 氦原子（微扰法）,第八章 自旋与全同粒子,返回,（一）Stern-Gerlach 实验
2、 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率,1 电子的自旋,返回,（1）实验描述,处于 S 态的氢原子,（2）结论,I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转,II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的,S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。,（一）Stern-Gerlach 实验,（3）讨论,磁矩与磁场之夹角,原子 Z 向受力,分析,若原子磁矩可任意取向， 则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带,但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩
3、来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。,钠原子光谱中的一条亮黄线 5893，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。,其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释,（二）光谱线精细结构,Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了电子自旋假设,（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：,自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,Bohr 磁子,（三）电子自旋假设,（1）电子回
4、转磁比率,我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：,（2）轨道回转磁比率,则，轨道回转磁比率为：,可见电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍,（四）回转磁比率,2 电子的自旋算符和自旋波函数,返回,自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别,通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数,而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。,与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为,自旋角动量 轨道角动量 异同点,与坐标、动量无关,不适用,同是角动量,满足同样的角动量
5、对易关系,（一）自旋算符,由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 /2 两个值,算符的本征值是,仿照,自旋量子数 s 只有一个数值,因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：,由于 SZ 只取 /2 两个值， 所以上式可写为两个分量：,写成列矩阵,规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。,若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态，则波函数可分别写为：,（二）含自旋的状态波函数,（1） SZ的矩阵形式,电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自
6、旋波函数上的，既然电子波函数表示成了21 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是 22 矩阵。,因为1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2，即有：,矩阵形式,同理对1/2 处理，有,最后得 SZ 的矩阵形式,SZ 是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值/2。,（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵,（2）Pauli 算符,1. Pauli 算符的引进,因为Sx, Sy, Sz的本征值都是/2， 所以x,y,z的本征值都是1； x2,y2,Z2 的本征值都是 。,即：,2. 反对易关系,基于的对易关系，可以证明 各分量之间满足反对易关系:,证：
7、,左乘y,右乘y,同理可证:x, y 分量的反对易关系亦成立. 证毕,或,由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质：,y2=1,3. Pauli算符的矩阵形式,根据定义,求 Pauli 算符的 其他两个分量,令,X 简化为：,令：c = expi (为实），则,由力学量算符厄密性,得：b = c* (或c = b*),x2 = I,求y 的矩阵形式,这里有一个相位不定性，习惯上取= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：,从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：,写成矩阵形式,（1）归一化,波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空
8、间坐标积分，即,（2）几率密度,表示 t 时刻在 r 点附近 单位体积内找到电子的几率,表示 t 时刻 r 点处 单位体积内找到自旋 Sz= /2的电子的几率,表示 t 时刻 r 点处单位 体积内找到 自旋 Sz = /2 的电子的几率,在全空间找到Sz = /2的电子的几率,在全空间找到 Sz = /2 的电子的几率,（四）含自旋波函数的归一化和几率密度,波函数,这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则1 ,2 对 (x, y, z) 的依赖一样，即函数形式是相同的。此时可以写成如下形式：,求：自旋波函数
9、(Sz),SZ 的本征方程,令,一般情况下，1 2，二者对(x, y, z)的依赖是不一样的。,（五）自旋波函数,因为 Sz 是 2 2 矩阵，所以在 S2, Sz 为对角矩阵的表象内，1/2, -1/2 都应是 21 的列矩阵。,代入本征方程得：,由归一化条件确定a1,所以,二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交,引进自旋后，任一自旋算符的函数 G 在 Sz 表象表示为22矩阵,算符 G 在任意态中对自旋求平均的平均值,算符 G 在 态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：,（六）力学量平均值,3 简单塞曼效应,返回,塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分 裂的现象。 该现
10、象在1896年被Zeeman首先 观察到,（1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂 现象。 （2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道-自旋相互作 用不能忽略时，将产生复杂塞曼效应。,（一）实验现象,取外磁场方向沿 Z 向，则磁场引起的附加能（CGS 制）为：,磁场沿 Z 向,（二）Schrodinger 方程,考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger 方程：,（二）氢、类氢原子在外场中的附加能,根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：,代入 S方程,最后得 1 满足的方程,同理得 2 满足的方程,（1） 当 B=0 时（无外场），是有心力场问题，方程退化为
11、不考虑自旋时的情况。其解为：,I。 对氢原子情况,II。对类氢原子情况,如 Li，Na，等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽作用，此时能级不仅与 n 有关，而且与 有关，记为E n ,则有心力场方程可写为：,（三）求解 Schrodinger 方程,由于,（2） 当 B 0 时（有外场）时,所以在外磁场下，n m 仍为方程的解，此时,同理,（1）分析能级公式可知：在外磁场下，能级与 n, l, m 有关。原来 m 不同能量相同的简并现象被外磁场消除了。,（2）外磁场存在时，能量与自旋状态有关。当原子处于 S 态时， l = 0, m = 0 的原能级 En l 分裂为二。,这正是 Stern
12、Gerlach 实验所观察到的现象。,（四） 简单 塞曼效应,（3）光谱线分裂,I。 B = 0 无外磁场时,电子从 En 到 En 的跃迁的谱线频率为：,II。 B 0 有外磁场时,根据上一章选择定则可知，,所以谱线角频率可取三值：,无磁场时的一条谱线被分裂成三条谱线,Sz= /2 时，取 +；Sz= /2 时，取 。,我们已分别讨论过了只有 L 和只有 S 的情况，忽略了二者之间的相互作用，实际上，在二者都存在的情况下，就必须同时考虑轨道角动量和自旋，也就是说，需要研究 L 与 S 的耦合问题。下面我们普遍讨论一下两个角动量的耦合问题。,（一）总角动量 （二）耦合表象和无耦合表象,4 两个
13、角动量耦合,返回,设有 J1, J2 两个角动量，分别满足如下角动量对易关系：,因为二者是相互独立的角动量，所以相互对易，即,其分量 对易关系可写为,证：,同理，对其他分量成立。 证毕,（一）总角动量,证：,同理，对其他分量亦满足。,证：,上面最后一步证明中，使用了如下对易关系：,由上面证明过程可以看出，若对易括号将 J12用J1代替，显然有如下关系：,这是因为,证：,（1）本征函数,也两两对易，故也有共同完备的本征函数系，记为：,耦合 表象 基矢,非耦合表象基矢,（二）耦合表象和无耦合表象,由于这两组基矢都是正交归一完备的，所以可以相互表示，即：,称为矢量耦合系数 或 Clebsch - G
14、orldon 系数,于是上式求和只需对 m2 进行即可。考虑到 m1 = m - m2 ，则上式可改写为：,或：,（2）C-G系数的么正性,我们知道，两个表象之间的么正变换有一个相位不定性，如果取适当的相位规定，就可以使C-G系数为实数。,共轭式,将上式左乘j1 j2 j m |，并考虑正交归一关系：,对 m = m, m m=1, 于是：,将 |j1,m1,j2,m2 用耦合表象基矢 |j1,j2,j,m 展开：,C-G系数 实数性,共轭式,左乘上式，并注意非耦合表象基矢的正交归一性：,对 m2 = m2 情况, 得：,考虑到上式两个C-G系数中总磁量子数与分量子数之间的关系： m2 = m
15、- m1 和 m2 = m - m1 最后得：,（3）j的取值范围（j与j1,j2的关系）,1.对给定j1 j2 ，求 jmax,因为m m1 m2 取值范围分别是：,m = j, j-1,., -j+1, -j mmax = j; m1 = j1, j1-1,., -j1+1, -j1 (m1)max = j1; m2 = j2, j2-1,., -j2+1, -j2 (m2)max = j2;,再考虑到m = m1 + m2，则有：mmax = (m1)max+ (m2)max = j = jmax，于是： jma x = j1 + j2,2.求 jmin,由于基矢|j1 m1, |j2 m2 对给定的j1 j2分别有2j1+1和2j2+1个， 所以非耦合表象的基矢 |j1, m1,j2,m2 = |j1,m1 |j2, m2 的数目为(2j1+1)( 2j2+1)个 。,另一方面，对于一个 j 值，|j1, j2, j, m 基矢有 2j+1个，那末 j 从 jmin 到 jmax 的所有基矢数则由下式给出：,等差级数求和公式,Jmax = j1 + j2,由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互独立的，等式两边基矢数应该相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m 的数亦应等于(2j1+1)(2j2+
