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1、第 四 章,欧式空间,内积 欧式空间 标准正交基,主要内容,1. 向量内积和欧式空间的概念 2. 基的标准正交化,1.向量内积的概念,【定义4.2】,注: 由矩阵乘法的定义，显然有,内积运算律,一、n维向量空间 欧式空间,2. 向量的长度(模),【定义4.3】设 R n，令:,称| |为向量 的长度(模),称长度为1的向量为单位向量.,【定理4.1】(施瓦茨(Schwarz)不等式),施瓦茨(Schwarz)不等式,3. 向量的夹角：,显然:零向量与任意向量正交!,当 ， 时，,称为n维向量 与 的夹角，记为( ).,【定义4.4】,说明: 当=0时,称向量 与 正交，记为 .,定义了内积的向
2、量空间V称为欧几里德(Euclid)空间,简称欧氏空间,仍记作V.,注:1)定义了内积的n维向量空间R n是一个欧氏空间.,【定义4.5】,2)几何中的一些定理可推广至一般的欧式空间V.,三角不等式:,余弦不等式:,勾股定理:,【定理4.2】,正交向量组是线性无关的.,【定义4.6】一组两两正交的非零向量组称为正交向量组.,由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组.,证明：设 是正交向量组，并有一组数使: k1 + k2 + + km = .,用 （i=1,2,m）对上式的两边做内积，得: k1 + k2 + + km= ,因 两两正交,故 = ( )，,所以： （i=1，2，m）,因 ，
3、所以 故ki =0（i=1,2,m）.于是向量组 线性无关.,二、标准正交基,1.正交向量,注：,的充要条件是,1）自然基 是标准正交基.,2）欧式空间V的一个基 是标准正交基,验证上述向量组,为R4的一标准正交基.,为什么？,一个向量在标准正交基下的坐标很易求得，其第i个,个分量即为这个向量与标准正交基的第i个向量的内积.,印象:,施密特(Schmidt)正交化方法(*) ： 对于给定的线性无关的向量组 找到一个与其等价的单位正交向量组.,为什么？,施密特(Schmidt)正交化方法,(1) 将线性无关的向量组 正交化.,(2) 将 单位化，令,等价的标准正交向量组.,已知R 3中的一组基为
4、:,解法一 利用施密特正交化方法先将 正交化：,令 = =(1,1,1)T，,再将 单位化，便得与 等价标准正交基为:,解法二,令 = =(1,1,1)T，,再将 单位化，得与 等价标准正交基,令 =(1,-2,1)T，,令 =(1,0,-1)T,1) 解一与解二差别在于: 按施密特正交化方法计算后,可适当,2) 将向量组标准正交化的步骤:首先按施密特正交化方法使其,正交化, 然后单位化, 这个顺序不能颠倒.,乘不为零的系数,使其分量化为整数,这样可使后面的计算简化。,注,我们知道有限个n维向量组可构成一个矩阵，那么R n中,的一个标准正交基所构成的矩阵有什么特点呢？,观察,R 4中的标准正交
5、向量组,构成的矩阵A=,AT A=,=E,正交矩阵,定义4.8 如果n阶实方阵A满足ATA= E(即A-1=AT)，则称A为正交矩阵,简称正交阵.,2.正交矩阵,(1) A可逆，且A-1=AT . A-1及AT也是正交矩阵.,正交矩阵的性质,(2) A的行列式为+1或-1.,(3)若A和B都是正交矩阵,则AB也是正交阵,(2) 对任意n维列向量,(1) 对任意n维列向量,证 (1),(4) A的行（列）向量组是n维向量空间R n的标准正交基.,正交变换的性质,定义:若方阵A为正交矩阵，则线性变换y=Ax称为正交变换.,作业：P106 1;2;5; P109 1 ;3;,下节讲线性方程组有解的充
6、要条件和解的结构 ，请预习,下周五交大作业！,第五章 线性方程组,线性方程组的理论是线性代数中的重要内容之一，它是解决很多实际问题的有力工具，在社会、经济、工程技术及许多科学技术领域中有广泛的应用。本章将讨论的方程组比第一章利用克拉默法则求解的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定不为零。,现假设一般的线性方程组为：,(5.1),注意：m和n不一定相等！,一、方程组及其不同表示形式,当常数项b1 ,b2,bm不全为零时,方程(5.1)称为非齐次线性方程组; 当常数项b1 ,b2,bm全为零时,方程(5.1)称为齐次线性方程组.即,(5.2
7、),若记方程组(5.1)的系数矩阵为A，未知数构成的矩阵为x，常数项构成的矩阵为b，即,又记系数矩阵A的列向量为1，2，n，则,线性方程组的不同表示形式,非齐次线性方程组(5.1)又可表成以下几种形式：,Ax=b (5.3),矩阵形式,向量形式,齐次方程组的不同表达形式分别为:,(5.4),(5.5),(5.6),线性方程组5.1的系数矩阵,因此 以下三种提法是等价的：,是方程组(5.1)的解,是方程组(5.3)的解向量,3.,二、 方程组的解向量,对上述方程组,本章主要讨论以下几个问题：,5.2 齐次线性方程组,主要内容,1.齐次线性方程组的解 2.齐次线性方程组解向量的性质 3.齐次线性方
8、程组解的结构 4.齐次线性方程组有非零解的充要条件,不一定有意义，更谈不上是否为零的问题。,问题?,对于齐次线性方程组,(5.2),x1=x2=xn=0,总是它的解。所以齐次方程组总是有解的。,对于齐次线性方程组，只需研究其在什么情况下有非零解，以及在有非零解的条件下，怎样表现出其所有解的问题。,1.齐次线性方程组的解,2.解向量的性质：叠加原理,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,证毕.,【性质5.1】,结论：,若齐次方程组Ax=0有非零解,则必定有无穷多个非零解。,N(A),方程组全部解的集合,根据性质5.1，其构成一向量空间,称之为方程组的解空间,其中任一组基向量称
9、为方程组的基础解系,问题：,N(A)的维数如何？,回想中学中解线性方程组的过程，自由未知量的个数是否与N(A)的维数有关？,【注】：基础解系起到了至关重要的作用！,矩阵形式：,所以与原方程组同解的方程组,移项即得,【定理5.2】齐次线性方程组(5.2)的解空间N(A)的维数是n-R(A).,注：n- 未知量个数；,R(A)-系数矩阵A的秩。,3.齐次线性方程组解的结构,求解齐次线性方程组的一般步骤：, 对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵；, 由行最简矩阵写出对应的同解方程组；,令同解方程组中的自由变量(xr+1 , xr+2 , , xn)T分别为(1,0, ,0)T,(0,1, ,0)
10、T,(0,0, ,1)T,即得原方程组的基础解系: 1, 2, ,n-r，从而得出原方程组的通解: k11+ k22+ kn-rn-r (k1, k1, kn-rR) 。,【例5.1】 求方程组 的基础解系与通解.,将系数矩阵A经初等行变换化为行最简矩阵:,【解】,由此知,R(A)=2,基础解系含有4-2=2个向量.同时得同解方程组:,分别取：,并将其代入方程组，解得一个基础解系为：,原方程组的通解为：,注 1)自由未知量不一定非要取后n-r个未知量.如例1,分别取：,2) 齐次线性方程组的基础解系一般不唯一, 任何n-r个线性无关的解向量都可作为基础解系.,【推论1】设A是mn矩阵,则,（1）齐次方程组Ax=0只有零解,（2）齐次方程组Ax=0有非零解,有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式|A|=0.,【推论2】有n个未知数n个方程的齐次线性方程组,R(A)=n(未知量的个数).,R(A) n(未知量的个数),4.齐次线性方程组有非零解的充要条件,【例5.2】设矩阵A、B分别是mn与ns型,若AB=O,证明:,分析：,寻找齐次线性方程组Ax=O与AB=O的关系。,【证】,设齐次线性方程组Ax=O,对矩阵B按列分块并记为:,由AB=O及分块矩阵的运算得:,这说明B的列向量,是方程组Ax=0的s,个解向量。,因而 ,亦即结论成立.证毕.,
