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1、实际问题与一元二次方程(一),教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实质, 培养灵活处理问题的能力. 重点:列方程解应用题. 难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量(简称关系式);会根据所设的不 同意义的未知数,列出相应的方程。,一、复习 列方程解应用题的一般步骤? 第一步:弄清题意和题目中的已知数、未知数,用字母表示题目中的一个未知数; 第二步:找出能够表示应用题全部含义的相等关系; 第三步:根据这些相等关系列出需要的代数式(简称关系式)从而列出方程; 第四步:解这个方程,求出未知数的值; 第五步:在检查求
2、得的答数是否符合应用题的实际意义后,写出答案(及单位名称)。,典型练习题,1、一个两位数个位数字比十位数字大1,个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9,求:这个两位数 2、一件商品原价200元经过两次降价后162元,求:平均降价的百分比 3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件,求:这个班级的人数 4、某校进行乒乓球单循环比赛,共比赛55场,问:共有多少名同学参加 5、 一名同学进行登山训练,上山速度为2千米/小时,下山速度为6千米/小时,求:往返一次的平均速度,6、一个多边形有14条对角线,问这个多边形是几边形?,有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个
3、人传染了几个人?,课前热身1:二中小明学习非常认真,学习成绩直线上升, 第一次月考数学成绩是a分,第二次月考增长了10%, 第三次月考又增长了10%,问他第三次数学成绩是多少?,分析:,第三次,第二次,第一次,a,aX10%,a+aX10%=,a(1+10%)X10%,a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =,a(1+10%)2,a(1+10%),课前热身2:某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,三月份产值为72亿元,问二月、三月平均每月的增长率是多少?,解:设平均每月增长的百分率为 x, 根据题意得方程为,50(1+x)2=72,可化为:,解得:,答:二月、三月平均每月的增长率
4、是20%,例1:平阳按“九五”国民经济发展规划要求,2003年的社会总产值要比2001年增长21%,求平均每年增长的百分率(提示:基数为2001年的社会总产值,可视为a),设每年增长率为x,2001年的总产值为a,则,2001年 a,2002年 a(1+x),2003年 a(1+x) 2,a(1+x) 2 =a+21%a,分析:,a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1,解:设每年增长率为x,2001年的总产值为a,则,a(1+x) 2 =a+21%a,答:平均每年增长的百分率为10% ,练习1:某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知
5、两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%),解:设原价为1个单位, 每次降价的百分率为 x. 根据题意,得,解这个方程,得,答:每次降价的百分率为29.3%.,练习2:某药品两次升价,零售价升为原来的 1.2倍,已知两次升价的百分率一样,求每次升价的百分率(精确到0.1%),解,设原价为 元,每次升价的百分率为 , 根据题意,得,解这个方程,得,由于升价的百分率不可能是负数, 所以 不合题意,舍去,答:每次升价的百分率为9.5%.,练习3.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄,到期后自动转存.今年到期扣除利息税(利息税为利息的20%),共取得5145元.求这种储蓄的年
6、利率.(精确到0.1%),练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.,一元二次方程及应用题,1、直角三角形问题:(勾股定理) 2、体积不变性问题: 3、数字问题: 4、互赠礼物问题: 5、增长率问题:,实际问题与一元二次方程(二),面积问题,有关面积问题:,常见的图形有下列几种:,例1、用22cm长的铁丝,折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.,整理后,得x2-11x+30=0 解这个方程,得x1=5,x2=6,(与
7、题设不符,舍去),答:这个矩形的长是6cm,宽是5cm。,由x1=5得,由x2=6,得,解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 (cm). 根据题意,得,例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?,则横向的路面面积为 ,,分析:此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。,解法一、 如图,设道路的宽为x米,,32x 米2,纵向的路面面积为 。,20x 米2,注意:这两个面积的重叠部分是 x2 米2,化简得,,其中的 x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去. 取x=2时,道路总面积为:,=100 (
8、米2),答:所求道路的宽为2米。,解法二: 我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路),横向路面为 ,,如图,设路宽为x米,,32x 米2,纵向路面面积为 。,20x 米2,耕地矩形的长(横向)为 ,,耕地矩形的宽(纵向)为 。,相等关系是:耕地长耕地宽=540米2,(20-x) 米,(32-x) 米,即,化简得:,再往下的计算、格式书写与解法1相同。,练习1:用一根长22厘米的铁丝,能否折成一个面积是30厘米的矩形?能否折成一个面积为32厘米的矩形?说明理由。,2:在一块长80米,宽6
9、0米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道,这条跑道的面积是1500平方米,求这条跑道的宽度。,3. 如图,在长为40米,宽为22米的矩形地面上,修筑两条同样宽的互相垂直的道路,余下的铺上草坪,要使草坪的面积为760平方米,道路的宽应为多少?,40米,22米,4、如图,在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,(两条纵向,一条横向,横向与纵向相互垂直),把耕地分成大小相等的六块试验地,要使试验地面积为570m,问道路的宽为多少?,例3、求截去的正方形的边长,用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为1
10、80cm,为了有效地利用材料,求截去的小正方形的边长是多少cm?,求截去的正方形的边长,分析 设截去的正方形的边长为xcm之后,关键在于列出底面(图中阴影部分)长和宽的代数式结合图示和原有长方形的长和宽,不难得出这一代数式,求截去的正方形边长,解:设截去的正方形的边长为xcm,根据题意,得,(28-2x)(20-2x)=180,x2-24x+95=0,解这个方程,得:x1=5,x2=19,经检验:x219不合题意,舍去 所以截去的正方形边长为cm.,例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总造价是8640元,
11、求池底的边长.,分析:池底的造价+池壁的造价=总造价,解:设池底的边长是xm.,根据题意得:,解方程得:,池底的边长不能为负数,取x=4,答:池底的边长是4m.,练习、建造成一个长方体形的水池,原计划水池深3米,水池周围为1400米,经过研讨,修改原方案,要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍,于是新方案的水池容积为270万米3,求原来方案的水池的长与宽各是多少米?,原方案,新方案,课堂练习:列方程解下列应用题 1、学生会准备举办一次摄影展览,在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上一圈等宽的彩纸。经试验,彩纸面积为相片面积的2/3时较美观,求镶上彩纸条的宽。(精确到0.1厘
12、米) 2、在宽20米,长32米的矩形地面上修筑同样宽的四条互相垂直的“井”字形道路(如图),余下的部分做绿地,要使绿地面积为448平方 米,路宽为多少?,3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81平方厘米,那么剪去的正方形边长为多少?,4、学校课外生物(小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路(如图),要使种植面积为600平方米,求小道的宽。(精确到0.1米),5、,在长方形钢片上冲去一个长方形,制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为3
13、0cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2,求这个长方形框的框边宽。,解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得,3020(302x)(202x)=400,整理得 x2 25+100=0,得 x1=20, x2=5,当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10,答:这个长方形框的框边宽为5cm,列一元二次方程解应题,6、放铅笔的V形槽如图,每往上一层可以多 放一支铅笔现有190支铅笔,则要放几层 ?,解:要放x层,则每一层放(1+x) 支铅笔.得 x (1+x) =1902,列一元二次方程解应题,补充练习:,(98年北京市崇文区中考题)如图,有一面 积
14、是150平方米的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边 (门除外)用竹篱笆围成,篱笆总长33米求鸡 场的长和宽各多少米?,通过这节课的学习: 我学会了 使我感触最深的是 我发现生活中 我还感到疑惑的是,实际问题与一元二次方程(三),质点运动问题,有关“动点”的运动问题”,1)关键 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度,2)方法 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”,也是求线段的长度;,由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.,3)常找的数量关系 面积,勾股定理等;,例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,B
15、C=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后 PBQ的面积等于8cm2?,解:设x秒后 PBQ的面积等于8cm2 根据题意,得 整理,得 解这个方程,得,所以2秒或4秒后 PBQ的面积等于8cm2,例2:等腰直角 ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?,例3:ABC中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的
16、一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直. i)设 ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式; ii)当x为何值时,直线l平分 ABC的面积?,例4:客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的2倍.,(1)选择:两船相遇之处E点( ) A.在线段AB上; B.在线段BC上; C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;,ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号),解:设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里,过D作DF CB,交B