《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),上页 下页 返回 结束,例2. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,上页 下页 返回 结束,补例,解,解得,上页 下页 返回 结
2、束,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,上页 下页 返回 结束,例5. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,上页 下页 返回 结束,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,上页 下页 返回 结束,对 x 求导,两边取对数,例6：求,的导数。,解：,上页 下页 返回 结束,补例,解,上页 下页 返回 结束,练习：设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,
3、再代入 得,求,上页 下页 返回 结束,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,?,已知,注意 :,上页 下页 返回 结束,补例：,解,所求切线方程为,上页 下页 返回 结束,补例. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,上页 下页 返回 结束,补例,解,上页 下页 返回 结束,补例. 设, 且,求,解:,练习: P111 题8(1),
4、解:,上页 下页 返回 结束,例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,上页 下页 返回 结束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,上页 下页 返回 结束,例10. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,
5、解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,上页 下页 返回 结束,思考: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,上页 下页 返回 结束,试求当容器内水,补例. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,上页 下页 返回 结束,内容小
6、结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,上页 下页 返回 结束, 求,解：,2. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,上页 下页 返回 结束,作业：P111-112,2； 4 (1),(3); 7(2); 8(2),(3)； 11；,练习：P111-112,1. (2),(3); 3.(4); 12,上页 下页 返回 结束,
