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1、33 几 何 概 型,33.1 几 何 概 型,1几何概型的概念与计算公式 (1)如果事件A可以理解为区域的一个子区域事件A发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型 (2)在几何概型中，设试验的全部结果构成的区域的几何度量(长度、面积或体积)为，构成事件A的区域的几何度量为A，则事件A的概率为P(A) .,2几何概型的特点 (1) ，在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2) ，每个结果的发生是等可能的 3古典概型与几何概型的区别 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有 个，几何概型的
2、基本事件有 个,无限性,等可能性,有限,无限多,重点：几何概型的概念及应用 难点：几何概型的判断与计算,1在古典概型中利用等可能性的概念，成功地解决了某一类问题的概率不过，古典概型要求可能结果的总数必须有限我们希望能把这种做法推广到无限多结果而又有某种等可能性的场合，得到随机事件的概率，这便是几何概型所能解决的问题,对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，则这个区域就是所有基本事件构成的集合对应的区域，如果该区域内的每一个点被取到的机会都一样，而事件A的发生则可以理解为恰好取上述区域内的某个指定区域内的点，这里的区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形
3、，这样我们就把随机事件与几何区域联系在一起了,如图事件A理解为区域的某一子区域A，事件A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积与体积)成正比，满足上述条件的试验称为几何概型,2几何概型作为一种概率模型有两个特点：无限性和等可能性几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，都属于“比例算法”，即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形的长度(面积或体积)”与“试验的所有基本事件组成的集合所占的总长度(面积或体积)”的比来表示它的特征是在一区域内均匀分布，其概率只与区域的大小有关，而与区域的位置与形状无关，如果随机事件所在区域是一个点，由于单点的长度、面积、体积都是0，则它发
4、生的概率为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它发生的概率为1，但它不是必然事件，这是几何概型与古典概型的重要区别,我们在解决几何概率问题时和古典概型的基本思路、步骤是一致的，计算方法上主要搞清： (1)与长度有关的几何概型 (2)与面积有关的几何概型 (3)与体积有关的几何概型,3计算几何概率就要先计算基本事件空间与事件A所包含的基本事件对应区域的几何度量(长度、面积或体积)，而这往往遇到计算困难，这是本节难点之一实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概率问题，为此可考虑应用如下方法： (1)适当选择观察角度； (2)把基本
5、事件空间转化为与之对应的区域； (3)把事件A转化为与之对应的区域； (4)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维；,(5)利用概率公式计算 同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断,例1 (1)如图有两个转盘，转盘上每个扇形的面积都相等，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向A区域(阴影部分)时，甲获胜，否则乙获胜，在(a)(b)两种情形下，甲获胜的概率分别是多少？ (2)取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率,解析 (1)在玩转盘时，指针指向转盘上任一位置都是随机的等可能的，也就是
6、说试验的所有可能的结果(基本事件)有无限多个，而且每个基本事件的发生都是等可能的，因而甲获胜的概率只与字母A所在扇形区域的圆弧长度有关，而与字母A所在区域的位置无关，只要字母A所在扇形区域的圆弧长度不变，不管这些区域是相邻还是不相邻，甲获胜的概率都是不变的,(2)从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置有无穷多点，基本事件有无限多个，而且每一个基本事件都是等可能的，因此事件发生的概率只与剪断的绳子的长度有关 设事件A“剪成两段的长都不小于1米”，把绳子三等分，当剪断位置处在中间一段上时事件A发生，而中间一段长度A1，又3，,例2 如图，在直角坐标系内，射线OT为60角的终边，在平面直角
7、坐标系内任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率,解析 以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在xOT内的概率只与xOT的大小有关，符合几何概型的条件 设事件A“射线OA落在xOT内”事件A的几何度量是60，区域的几何度量是360，所以，由几何概率公式得P(A) 点评 角度型几何概型实质上仍然是长度型几何概型,在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于30的概率为_,例3 如图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m远向此板投镖设投镖击中线上或
8、没有击中木板时都不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？ (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？,解析 投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中不算)都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关，这符合几何概型的条件 设事件A“投中大圆内”；B“投中小圆与中圆形成的圆环”，C“投中大圆之外”,S正方形162256(cm2) AS大圆6236(cm2) BS中圆S小圆422212(cm2) CS正方形S大圆25636(cm2)
9、由几何概率公式得：,如图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率为_,例4 在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？ 解析 由于带锈病的种子在1L小麦种子中的位置是随机的，所以随机取出10mL时，取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件 设事件A“取出的10mL麦种含有带小麦锈病的种子”A10(mL)，1(L)1000(mL)，,(2010安徽江南十校联考)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体AB
10、CDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ( ),答案 B,例5 在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率 错解 在AB上取点C，使ACAC.在ACB内作射线CM看作在线段AC上任取一点M，过C、M作射线CM，则概率为,辨析 虽然在线段AC上任取一点P是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性 正解 在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的在AB上取ACAC，则ACC67.5，故满足条件的概率为 0.75.,答案 D,答案 B,二、填空题 3已知一圆柱底半径为1，高为2，圆柱下底面圆心为O，在圆柱体内部，随机取一点P，则P到O的距离小于1的概率为_,三、解答题 4某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达(假设每一辆汽车可带走车站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求某乘客候车时间不超过3分钟的概率,解析 此题可看作向区间0,5内均匀投点，而且点落入区间2,5内的概率，是几何概型 设A某乘客候车时间不超过3分钟，,
