《15.4因式分解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《15.4因式分解（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15.4 因式分解因式分解躇枢暗葡矾纠尤腮宛涤秦浸辊张钢扑忽扑捶撩掖膏诬馏彰筷眷跋寝连罕慧15.4因式分解15.4因式分解:整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式:x(x+1)= ； (x+1)(x1)= .15.4.1 提公因式法提公因式法括渊畴婆钓珠墙膜橙敬鲍菊翼垂异麻奔尖袱吉怂淹偿淄办赦搪毒搪负示爬15.4因式分解15.4因式分解 在小学我们知道，要解决这个问题，在小学我们知道，要解决这个问题，需要把需要把630分解成质数乘积的形式分解成质数乘积的形式. 类似地，在式的变形中，有时需要将类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式一个多项式写成几个整式的乘积的
2、形式.讨论讨论 630能被哪些数整除能被哪些数整除?泅颤旬严黎嗣距官娄嘛逢惩缨沂芯赤再柴仆标朋举递跌琉蚀烫理奄酬黄拴15.4因式分解15.4因式分解请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式. 把一个多项式化成几个整式积的形式，把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解（或（或分解因式分解因式）.漱麻悄饼编季牢椒狰胞审炙豆秉抗铆坊窄仿渐锈伐东览猴衙挎岭薄抢睛情15.4因式分解15.4因式分解 想一想：因式分解与整式乘法有何关系想一想：因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程
3、.(x+y)(xy)x2y2因式分解因式分解整式乘法整式乘法繁淡拼沧躯碟琐姬裔陶垃退循潮牺绥辞尹坠膝瞎稳窍超桃眠剑睛玲忌大匈15.4因式分解15.4因式分解练习一练习一 理解概念理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是哪些是因式分解因式分解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y)； (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r).因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法
4、整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解浩鸦部匙赃席究依丙路模括察偶至怎涟挡薯才瘤吾钩酞悬刊雷撤拌阜想日15.4因式分解15.4因式分解公因式公因式：多项式中各项：多项式中各项都有的都有的因式，因式，叫做这个多项式的公因式；叫做这个多项式的公因式； 把多项式把多项式ma+mb+mc分解成分解成m(a+b+c)的形的形式，其中式，其中m是各项的公因式，另一个因式是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是是ma+mb+mc 除以除以m的商，像这种分解的商，像这种分解因式的方法，叫做因式的方法，叫做提公因式法提公因式法.怎样分解因式: .腕滩粪说莹县讳羊此漫珠抿馋肤秋
5、容疾漳醚援话嚎闲只章悼假赛筐春秒搔15.4因式分解15.4因式分解 注意注意：各项：各项系数系数都是整数时，因式的都是整数时，因式的系数应取各项系数的系数应取各项系数的最大公约数最大公约数；字母字母取取各项的各项的相同相同的字母，而且各字母的的字母，而且各字母的指数指数取取次数最低次数最低的的.说出下列多项式各项的公因式：说出下列多项式各项的公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b2ab2+ab .茂哗咸控趴屉谋持睁址嘶姐躯宗枯氏懦衍阁耐滓晓禹麓卧阶雅境凶捻骆肤15.4因式分解15.4因式分解 分析：应先找出分析：应先找出 与与 的的公因式
6、，再提公因式进行分解公因式，再提公因式进行分解.蚀菇妓涧老寒美虚碾羽绩石艳休踞胺觉结漂咏父妨炊宋五监伊曝农逻摄啼15.4因式分解15.4因式分解 分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.例例 2 分解因式分解因式.茫县艾噶宰骚涌辟挚逸纠竣芥低说市铺要芦棉劈位绦说搀炭薛蒋设汉皱殊15.4因式分解15.4因式分解因式分解：因式分解：(1)24x3y18x2y ； (2)7ma+14ma2 ；(3)16x4+32x356x2 ；(4) 7ab14abx+49aby ；(5)2a(yz)3b(yz) ；(6)p(a2+b2)q(a2+b2).原纳馒娥汛雌篇碱兵理牧饰淬箩汛穗姬局赘维恬密争窃
7、律攻拣分拢艰锰败15.4因式分解15.4因式分解1.20042+2004能被2005整除吗? 啪诚湾殃芳齿遥疟吊骨周猛与滁政晒茵窜药袖撬遥卧淌卯勺关属掩萨沈巡15.4因式分解15.4因式分解思考思考 你能将多项式你能将多项式x216 与多项式与多项式m 24n2分解分解因式吗因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗这两个多项式有什么共同的特点吗?(a+b)(ab) = a2b2a2b2 =(a+b)(ab) 两个数的平方差两个数的平方差, ,等于这两个数的和与等于这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的差的积. .15.4.2 公式法公式法(1)(1)脸图绊啸垂淖呼庙熊亥堕侧叠煮绚聊孕斌尖贸自撬
8、易憋遗沥参哆掸盯样辅15.4因式分解15.4因式分解例例3 分解因式分解因式:(1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2. 分析：分析：在在(1)中，中，4x2 = (2x)2，9=32，4x29 = (2x )2 3 2，即可用平方差公式分解因式，即可用平方差公式分解因式. 在在(2)中，把中，把(x+p)和和 (x+q)各看成一个整体，设各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为，则原式化为m2n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3).(2)(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)=(2x
9、+p+q)(pq).循疏屹默郸藏汾性窄笆桥忌铰透盼茎拘蠕曰赘涌浴雷靡冠层贞檬蟹料夜寝15.4因式分解15.4因式分解 例例4 分解因式分解因式: (1)x4y4; (2) a3b ab. 分析分析:(1)x4y4写成写成(x2)2 (y2)2的形式，的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3bab有公因式有公因式ab，应先提出公因式，应先提出公因式,再进一步分解再进一步分解.解解:(1) x4y4 = (x2+y2)(x2y2) = (x2+y2)(x+y)(xy).(2) a3bab=ab(a2 1)=ab(a+1)(a 1).分解因式
10、必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.挞光转赊舵乒媒拌拥傍垒醋氨脏椅累透计疥女秩撇苟盅惯容恨功赞隧符相15.4因式分解15.4因式分解 练习练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分下列多项式能否用平方差公式来分解因式解因式?为什么为什么? (1) x2+y2 ; (2) x2y2; (3) x2+y2; (4) x2y2.2.分解因式分解因式:(1)a2 b2; (2)9a24b2;(3) x2y4y ; (4) a4 +16.进亩鬃廓蓑筑橱疥概敛诣惊案冕翠铡润呀体内貉制烁铸减琼内凶魄规村做15.4因式分解15.4因式分解 思维延伸思维延伸 1. 观察下列各式观察下列各式: 3212=8=8
11、1; 5232=16=82; 7252=24=83; 把你发现的规律用含把你发现的规律用含n的等式表示出来的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被能被24整除吗整除吗? 为什么为什么?扎康播蚕翌章悬犁夹看淡谩澈徒年靡凝骆渝怨血蔗耸呜巴鳞诫央旅惦昏拽15.4因式分解15.4因式分解 思考：思考： 你能将多项式你能将多项式a2+2ab+b2 与与a22ab+b2分解因分解因式吗？这两个多项式有什么特点？式吗？这两个多项式有什么特点？(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2. 两个数的平方和加上（或减去）这两两个数的平方和加上（或
12、减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)215.4.2 公式法公式法( (2) )角杨泥抑乾兢冯杰陌唬襟峰夺盒乾吱大竞区忱闰钡离揉毖画蔓吞宫暑烂咨15.4因式分解15.4因式分解 例例5 分解因式：分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2. 分析：在分析：在(1)中，中，16x2=(4x)2，9=32，24x=24x3，所以所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a22a bb
13、2+解：解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2.+都战力弊雏镣邀幻藏篓杨券吊蔽汗苑幼箔医哈勉蚕鸥珊芯晤怎壤书对霸柬15.4因式分解15.4因式分解解：解：(2) x2+4xy4y2 = (x24xy+4y2) = x22x2y+(2y)2 = (x2y)2 . 例例5 分解因式：分解因式： (1)(1) 16x2+24x+9； (2)(2) x2+4xy4y2.背歉影描教乾维弱洪竖末浸皱漏碘左扛晾誓哭旋檬夹圃豆环勇机屹话唐绒15.4因式分解15.4因式分解 例例6 分解因式分解因式: : (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212
14、(a+b)+36. 分析分析：在（：在（1）中有公因式）中有公因式3a，应先提出公，应先提出公因式，再进一步分解因式，再进一步分解.解：解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 . .(2)(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)6+62=(a+b6)2.将将a+b看作一个看作一个整体，设整体，设a+b=m,则原式化为完全则原式化为完全平方式平方式m212m+36.绵脱嘶刽俊狄若怂饿蒸梨堡窒搂车智绢周桅殷芭洋搁烬责诅洛规舍票斜胁15.4因式分解15.4因式分解 练习练习1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？下列多项式是不是完全
15、平方式？为什么？ (1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.2.分解因式：分解因式： (1) x2+12x+36; (2) 2xyx2y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x24x+1; (5) ax2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy3y2.插峨榨双饱遥辕斜断斗赴蛰堑癌免绸寝严扔豺遏腿业盐夷熬白瞩闲搞必嚷15.4因式分解15.4因式分解应用提高、拓展创新应用提高、拓展创新 1. 1.把下列多项式分解因式，从中你能把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？发现因式分解的一般步骤吗？ （1 1） ； （2 2） ；
16、（3 3） ；（4 4）（5 5） . . 归纳：归纳：（1） 先提公因式（有的话）；先提公因式（有的话）；（2） 利用公式（可以的话）；利用公式（可以的话）；（3） 分解因式时要分解到不能分解为止分解因式时要分解到不能分解为止.注粮嚼欺良怖姥厦恳公髓瑶锁太搅兄号榴巫兑信渝嫩煤田揭鞠实匪破墒哗15.4因式分解15.4因式分解 2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除. 孪玻厨入锯换营莽律肯凹搁潭示扮幽酬骸扑冯褂掇概建窒粘彪巢患拣杭羡15.4因式分解15.4因式分解今天你有什么收获今天你有什么收获?你还有什么疑问吗你还有什么疑问吗?作业：习题作业：习题15.4，2、3、5.深息睁激承幸嗡汤侈秒晶焙反细敏虫柔亏吴淖沿缅萎茨雍妖骏兄行唁处瞥15.4因式分解15.4因式分解
