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1、微积分初步,函数的导数与微分 函数的不定积分与定积分,1 函数、导数与微分,一、变量、常量与函数 变量:在某一过程中取值会不断变化的量。 常量:在某一过程中取值始终不变的量。 函数:变量 y 按某种确定的关系随变量 x 的变化而变化,则称 y 是 x 的函数,x 叫自变量,y 叫因变量,写作: y=f (x) 例:y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x 复合函数:若 y 是 z 的函数 y=f (z),而 z 又是 x 的函数 z=g(x),则称 y 是 x 的复合函数,记作: y=(x)=fg(x) 例:y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3),二、函
2、数的导数,函数 y=f (x) 在 x 处的导数定义为:,例:求函数 y = x2 在 x= 1 和 x = 3 时的导数值。,基本函数导数公式,导数的基本运算法则:(设 u = u(x), v = v(x) ),例1:求 y = x3 ln x 的导数,解,例2 求 y = sin x / x 的导数,解,二阶导数与高阶导数,前述函数的导数是 y 对 x 的一阶导数,若将一阶导数 y 再次对 x 求导,则为二阶导数:,同理,将二阶导再对x 求导则为三阶导,三阶导的导数则为四阶导等。 例 求 y = x3+3x2 的二阶导数,三、函数的极值,极值点处的切线一定是水平的,因而极值点的判定条件是:
3、 f (x) = 0 极大值点的条件是: f (x) = 0,f (x) 0 极小值点的条件是: f (x) = 0,f (x) 0,例 求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值,解:因 y =12x2-6x 令 y=0 得 x1=0, x2=1/2 此为其两个极值点。 又 y=24x - 6, 有 y(x1)= - 6 0, y(x2)= 60 因而 x1=0 是极大值点,对应的极大值为 y1=5 x2=1/2 是极小值点,对应的极小值为 y2=19/4,四、函数的微分,例 求函数 y = 5x + sin x 的微分,2 不定积分,一、原函数 前一节学了求函数 y = f (x
4、) 的导数 f (x),现若已知一函数 F(x) 的导数为 f (x) ,要求原函数F(x) 例 因 (x3) = 3x2 ,所以 x3 为3x2 的原函数 (sin x) = cos x , sin x 是cos x 的原函数 F (x) =F(x) +c ,c 为任意常数, 函数 f (x) 的原函数有任意多个: F(x) +c,二、不定积分,定义:函数 f (x) 的所有原函数F(x) +c 叫 f (x) 的不定积分,记为:,不定积分公式:,不定积分运算法则:,例1 求,解:令 u = 1+x , 微分得:du =dx ,有:,例2 求,解:令 u = ax+b , 微分得:du =adx ,有:,例3 求,解:令 u = x2+1 , 微分得:du =2xdx ,有:,例4 求,解:令 u = e3x, 微分得:du =3 e3x dx ,有:,3 定积分,定积分的主要性质:,定积分的计算(牛顿莱布尼茨公式),例1 求,解:令 u = x2+1 , 微分得:du =2xdx ,有:,例2 求,解:令 u = cos x , 微分得:du = - sin x dx,