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1、微积分初步,函数的导数与微分 函数的不定积分与定积分,1 函数、导数与微分,一、变量、常量与函数 变量：在某一过程中取值会不断变化的量。 常量：在某一过程中取值始终不变的量。 函数：变量 y 按某种确定的关系随变量 x 的变化而变化，则称 y 是 x 的函数，x 叫自变量，y 叫因变量，写作： y=f (x) 例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x 复合函数：若 y 是 z 的函数 y=f (z)，而 z 又是 x 的函数 z=g(x)，则称 y 是 x 的复合函数，记作： y=(x)=fg(x) 例：y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3),二、函
2、数的导数,函数 y=f (x) 在 x 处的导数定义为：,例：求函数 y = x2 在 x= 1 和 x = 3 时的导数值。,基本函数导数公式,导数的基本运算法则：（设 u = u(x), v = v(x) ）,例1：求 y = x3 ln x 的导数,解,例2 求 y = sin x / x 的导数,解,二阶导数与高阶导数,前述函数的导数是 y 对 x 的一阶导数，若将一阶导数 y 再次对 x 求导，则为二阶导数：,同理，将二阶导再对x 求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。 例 求 y = x3+3x2 的二阶导数,三、函数的极值,极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：
3、 f (x) = 0 极大值点的条件是： f (x) = 0，f (x) 0 极小值点的条件是： f (x) = 0，f (x) 0,例 求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值,解：因 y =12x2-6x 令 y=0 得 x1=0, x2=1/2 此为其两个极值点。 又 y=24x - 6， 有 y(x1)= - 6 0， y(x2)= 60 因而 x1=0 是极大值点，对应的极大值为 y1=5 x2=1/2 是极小值点，对应的极小值为 y2=19/4,四、函数的微分,例 求函数 y = 5x + sin x 的微分,2 不定积分,一、原函数 前一节学了求函数 y = f (x
4、) 的导数 f (x)，现若已知一函数 F(x) 的导数为 f (x) ，要求原函数F(x) 例 因 (x3) = 3x2 ，所以 x3 为3x2 的原函数 （sin x) = cos x ， sin x 是cos x 的原函数 F (x) =F(x) +c ，c 为任意常数， 函数 f (x) 的原函数有任意多个： F(x) +c,二、不定积分,定义：函数 f (x) 的所有原函数F(x) +c 叫 f (x) 的不定积分，记为：,不定积分公式：,不定积分运算法则：,例1 求,解：令 u = 1+x , 微分得：du =dx ，有：,例2 求,解：令 u = ax+b , 微分得：du =adx ，有：,例3 求,解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：,例4 求,解：令 u = e3x, 微分得：du =3 e3x dx ，有：,3 定积分,定积分的主要性质：,定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）,例1 求,解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：,例2 求,解：令 u = cos x , 微分得：du = - sin x dx,
