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1、3.1.2 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 （1 1）通过用）通过用“二分法二分法”求方程的近似解求方程的近似解, ,使学生体会函使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系数的零点与方程根之间的联系, ,初步形成应用函数初步形成应用函数 观点处理问题的意识；观点处理问题的意识；( (重点）重点）（2 2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. . （难点）（难点） 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条的电话线路发生了故障这是一条10 km
2、10 km长的线路，如何长的线路，如何迅速查出故障所在？迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆，点要爬一次电线杆，10km10km长，大约有长，大约有200200多根电线杆呢想多根电线杆呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？B BA AC CD DE E 假设在区间假设在区间-1,5-1,5上，上，f(x)f(x)的图象是一条连续的曲线，且的图象是一条连续的曲线，且f f(-1)0,f(5)0,f(5)0，即，即f(-1)f(5)0f(-1)f(5)0，我们怎
3、样依如上方法求得方，我们怎样依如上方法求得方程程f(x)=0f(x)=0的一个解的一个解? ?-1 f(x)yxO12345 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法像上面这种求方程近似解的方法称为二分法. .二分法的定义：二分法的定义：定义：定义： 对于在区间对于在区间a,ba,b上上连续不断连续不断且且f(a)f(a)f(b)0f(b)0的函的函数数y=f(x),y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间一一分为二分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做点近似值的方法叫做二
4、分法二分法（bisectionbisection）. .【思考思考】(1)(1)所有的函数都有零点吗？所有的函数都有零点吗？(2)(2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？若函数有零点，是否都可用二分法求出？xyoxyoxyo例例1. 1. 求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-3x-6-3x-6的正数零点的正数零点( (精确度为精确度为0.1).0.1).【解解题题指指南南】本本题题考考查查函函数数零零点点的的概概念念以以及及用用二二分分法法求求函函数数零零点点的的具具体体步步骤骤. .求求正正数数零零点点，关关键键是是确确定定一一个个包包含含此此零零点点的的区区间间
5、. .【解析解析】确定一个包含正数零点的区间确定一个包含正数零点的区间(m(m，n)n)，且，且f(m)f(m)f(n)0.f(n)0.因为因为f(0)=-60f(0)=-60，f(1)=-60f(1)=-60f(2)=40，所以可以取区间，所以可以取区间(1,2)(1,2)作作为计算的初始区间为计算的初始区间. .因为因为f(1)=-60f(1)=-60f(2)=40，所以存在，所以存在x x0 0(1, (1, 2)2)，使，使f(xf(x0 0)=0.)=0.用二分法逐步计算，列表如下：用二分法逐步计算，列表如下：端点端点( (中点中点) ) 端点或中点的端点或中点的函数值的符号函数值的
6、符号 取值区间取值区间 f(1)0,f(1)0 f(2)0 (1,2) (1,2) f(1.5)0 f(1.5)0 f(1.75)0 (1.5,1.75) (1.5,1.75) 由于由于|1.75-1.687 5|=0.062 50.1.|1.75-1.687 5|=0.062 50.1.函数的正零点的近似值为函数的正零点的近似值为1.687 5.1.687 5.端点端点( (中点中点) ) 端点或中点的端点或中点的函数值的符号函数值的符号 取值区间取值区间 f(1.625)0 f(1.625)0 (1.625,1.75) (1.625,1.75) f(1.687 5)0 f(1.687 5)
7、0 (1.687 5,1.75) (1.687 5,1.75) 给定精确度给定精确度 , ,用二分法求函数用二分法求函数f(x)f(x)的零点近似值的步骤如下：的零点近似值的步骤如下：1.1.确定区间确定区间 ，验证，验证 ，给定精确度，给定精确度 ；2.2.求区间（求区间（a,ba,b）的中点）的中点c c；3.3.计算计算（1 1）若）若 ，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点；（2 2）若）若 , ,则令则令b=c(b=c(此时零点此时零点x x0 0(a,c)(a,c)；（3 3）若）若 , ,则令则令a=ca=c（此时零点（此时零点x x0 0(c,b).(c,b).即若即若
8、，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(a(或或b b）；）；4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：否则重复步骤否则重复步骤2 24 4例例2. 2. 求函数求函数f(x)=lnx+2x-6f(x)=lnx+2x-6在区间（在区间（2 2，3 3）内的零点）内的零点（精确度为（精确度为0.010.01）. .解：解：画出画出y=lnxy=lnx及及y=6-2xy=6-2x的图象，观察图象得，的图象，观察图象得，方程方程lnx=6-2xlnx=6-2x有唯一解，记为有唯一解，记为x x1 1，且这个解，且这个解在区间（在区间（2 2，3 3）内）内y=y=2x+62x+6y=lnxy=
9、lnx6 6O Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y根所在区间根所在区间区间端点函数值符号区间端点函数值符号中点值中点值中点函数值符号中点函数值符号（2 2，3 3）f(2)0f(2)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)02.562 52.562 5f(2.562 5)0f(2
10、.562 5)0（2.531 252.531 25，2.562 52.562 5）f(2.5)0f(2.5)0f(2.562 5)0（2.52.5，2.562 52.562 5）f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.562 5)0f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.539 062 5)0f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.546 875)0（2.531 252.531 25，2.539 062 52.539 062 5）f(2.546 875)0f(2.546 875)0f(2.531 25)0,f(2.531 25)0f(2.539
11、062 5)0列出下表：列出下表：由于由于所以，可以将所以，可以将作为函数作为函数零点的近似值，也即方程零点的近似值，也即方程的近似根的近似根. .注意精确度注意精确度2.2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点；中值计算两边看定区间，找中点；中值计算两边看. .同号丢，异号算，零点落在异号间同号丢，异号算，零点落在异号间. .重复做，何时止，精确度来把关口重复做，何时止，精确度来把关口. . 对二分法概念的理解对二分法概念的理解【技法点拨技法点拨】运用二分法求函数零点需具备的二个条件运用二分法求函数零点需具备的二个条件(1)(1)函数图象在零点附近连续不
12、断函数图象在零点附近连续不断. .(2)(2)在该零点左右函数值异号在该零点左右函数值异号. .【典例训练典例训练】1.1.下列图象与下列图象与x x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是是( )( )2.2.下面关于二分法的叙述，正确的是下面关于二分法的叙述，正确的是( )( )(A)(A)用二分法可求所有函数零点的近似值用二分法可求所有函数零点的近似值(B)(B)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位(C)(C)二分法无规律可循二分法无规律可循(D)(D)只有在求函数零点时才用二分
13、法只有在求函数零点时才用二分法 用二分法求函数的零点用二分法求函数的零点【技法点拨技法点拨】1.1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)(1)需依据图象估计零点所在的初始区间需依据图象估计零点所在的初始区间m,nm,n( (一般采用估计值一般采用估计值的方法完成的方法完成).).(2)(2)取区间端点的平均数取区间端点的平均数c c，计算，计算f(c)f(c)，确定有解区间是，确定有解区间是m,cm,c还还是是c,nc,n，逐步缩小区间的，逐步缩小区间的“长度长度”，直到区间的两个端点符合，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的
14、近似值精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. .【典例训练典例训练】1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-2-2x-2在区间在区间1,21,2的一个零点是的一个零点是_(_(精精确度为确度为0.1).0.1).2.2.求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2-9x+1-9x+1的一个负零点的一个负零点( (精确度为精确度为0.01).0.01). 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解【技法点拨技法点拨】用二分法求方程的近似解的思路和方法用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)(1)根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求
15、根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)=0f(x)=0的近似解，可按照的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解用二分法求函数零点近似值的步骤求解. .(2)(2)对于求形如对于求形如f(x)=g(x)f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数成求函数F(x)=f(x)-g(x)F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解求函数零点的近似值的步骤求解. .【典例训练典例训练】1.1
16、.利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表： x x1.01.01.41.41.81.82.22.22.62.63.03.0y=2y=2x x2.02.02.6392.6393.4283.4284.5954.5956.0636.0638.08.0y=xy=x2 21.01.01.961.963.243.244.844.846.766.769.09.0那么方程那么方程2 2x x=x=x2 2的一个根所在区间为的一个根所在区间为( )( )(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)(C)(
17、1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)2.2.求方程求方程x x2 2=2x+1=2x+1的一个近似解的一个近似解( (精确度为精确度为0.1).0.1).1.1.二分法求函数的零点的近似值适合于二分法求函数的零点的近似值适合于( )( )(A)(A)零点两侧函数值符号相反零点两侧函数值符号相反(B)(B)零点两侧函数值符号相同零点两侧函数值符号相同(C)(C)都适合都适合(D)(D)都不适合都不适合A A2.2.下列函数不能用二分法求零点的是下列函数不能用二分法求零点的是( )( )(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=log(A)f
18、(x)=3x-2 (B)f(x)=log2 2x+2x-9x+2x-9(C)f(x)=(2x-3)(C)f(x)=(2x-3)2 2 (D)f(x)=3 (D)f(x)=3x x-3-33.3.用二分法求函数用二分法求函数f(x)f(x)的一个正实数零点时，经计算的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0f(0.64)0f(0.72)0，f(0.68)0f(0.68)0,f(0.74)0,则函数的一则函数的一个精确度为个精确度为0.10.1的正实数零点的近似值为的正实数零点的近似值为( )( )(A)0.64 (B)0.74 (C)0.7 (D)0.6(A)0.64 (B)0.74 (C)0.
19、7 (D)0.6C CC C4.4.用二分法求函数用二分法求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间2 2，4 4上的近似零点上的近似零点( (精确精确度为度为0.01)0.01)，验证，验证f(2)f(2)f(4)f(4)0 0，取区间，取区间2,42,4的中点的中点x x1 1= =3= =3，计算得，计算得f(2)f(2)f(xf(x1 1) )0 0，则此时零点，则此时零点x x0 0所在的区间所在的区间是是_._.(2,3)(2,3)5.(20125.(2012抚州高一检测抚州高一检测) )某同学在借助计算器求某同学在借助计算器求“方程方程lgx=2-xlgx=2-x的近似解（精确到的近似解（精确到0.10.1）”时，设时，设f(x)=lgx+x-2,f(x)=lgx+x-2,算得算得f(1)0;f(1)0;在以下过程中，他用在以下过程中，他用“二分法二分法”又取又取了了4 4个个x x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是的近似解是x=1.8.x=1.8.那么他所取的那么他所取的x x的的4 4个值中最后一个值是个值中最后一个值是_._.1.812 51.812 5
