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1、第第 1414 周周 参数点估计参数点估计 1414.1.1 参数参数的矩的矩估计估计法法 参数参数估计和假设检验估计和假设检验 2 20 0 名某地区高中男生的身高数据（单位：名某地区高中男生的身高数据（单位：cmcm） ：） ： 170.1 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 163.7 175.4170.1 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 163.7 175.4 163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 179.0 173.9 173.7163.3
2、 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 179.0 173.9 173.7 假设总体服从假设总体服从正态分布，正态分布，确定确定正态分布正态分布的的期望和方差。期望和方差。 参数参数估计估计 是否是否有充分的依据可以相信有充分的依据可以相信这组数据这组数据是来自正态总体？是来自正态总体？ 假设检验假设检验 * 假设总体的分布的形式已知，分布中含有未知参数假设总体的分布的形式已知，分布中含有未知参数 ， , 12n XXX是来自该总体的一个样本，是来自该总体的一个样本， 构造适当的统计量构造适当的统计量 12 , n XXX ，估计总体分布的参数估计总体分布的参
3、数 ， 就称就称 为参数为参数 的点估计。的点估计。 最常用的两种点最常用的两种点估计构造方法是估计构造方法是矩估计法矩估计法和和极大似然估计法极大似然估计法。 * 设一个盒子里装有一定量的白球和黑球，试估计其中黑球比例。设一个盒子里装有一定量的白球和黑球，试估计其中黑球比例。 假定进行假定进行 1010 次有放回的抽取，抽到次有放回的抽取，抽到 3 3 个黑球：黑球比例大约个黑球：黑球比例大约为为 0.30.3 假设盒子中黑球比例为假设盒子中黑球比例为p，随机变量，随机变量 10 1 X pp , 1210 XXX为为来自总体来自总体X的的样本样本， E Xp 1210 10 XXX X 1
4、10 0.3 10 xx * 估计估计参数参数 ， k k fXE 12 kkk n k XXX f n 12 , n XXX 如如总体包含总体包含m个未知个未知参数，则列参数，则列m个方程求解。个方程求解。 取取m个不同的数字特征个不同的数字特征( (最常用最常用的是的是原点矩、中心矩原点矩、中心矩) )，用，用m个参数表示的个参数表示的理论理论 表达式；表达式；样本值样本值近似近似理论值理论值。矩估计法矩估计法 矩估计不唯一矩估计不唯一 为了计算简单，尽可能用低阶矩。为了计算简单，尽可能用低阶矩。 * 例例 14.114.1. .1 1 总体服从总体服从泊松泊松分布分布 P, , 12n
5、XXX是来自该总体的一个样本，试是来自该总体的一个样本，试 求参数求参数 的的矩估计矩估计量量。 解解 泊松泊松分布分布的期望的期望E X，用，用样本均值样本均值X近似近似期望期望，XE X， 得得 的的矩估计矩估计量量为为X 。 解法解法 2 2 泊松分布泊松分布的的方差方差Var X，用，用样本样本方差方差 2 S替换总体方差，替换总体方差， 得得 的的矩估计矩估计量量为为 2 S 。 * 例例 14.114.1. .2 2 总体服从指数分布总体服从指数分布 E , , 12n XXX是来自该总体的一个样本， 试是来自该总体的一个样本， 试 求参数求参数 的的矩估计矩估计。 解解 指数总体
6、指数总体的期望的期望 1 E X ，用，用样本均值近似期望样本均值近似期望， 1 XE X 得到得到方程方程 1 X ，求解，求解得参数得参数 的的矩估计矩估计量量为为 1 X 。 * 例例 14.114.1. .3 3 设设, 12n XXX是是来自来自正态总体正态总体 2 ,N 的样本，的样本，求参数求参数 和和 2 的的 矩估计矩估计量量。 解解 正态总体正态总体的期望的期望 E X ，方差方差 2 Var X 用用样本均值样本均值X和和样本样本方差方差 2 S近似近似总体总体期望期望和和方差方差，得得 的的矩估计矩估计量量为为X 2 的的矩估计矩估计量量为为 22 S 。 * 例例 1
7、4.114.1.4.4 对于均匀总体对于均匀总体 baU,，设设, 12n XXX是来自该是来自该总体总体的样本，的样本，试求参试求参 数数ba,的矩估计的矩估计量量。 解解 利用总体的期望与方差利用总体的期望与方差 2 , 212 baab E XVar X ，得到方程组，得到方程组 2 2 2 12 ab X ba S 解得参数解得参数ba,的矩估计量的矩估计量 3aXS，3bXS。 解法解法 2 2 考虑总体的考虑总体的 1 1 阶和阶和 2 2 阶原点矩阶原点矩 , 2 ab E X 22 2 3 aabb E X ，得到方程组，得到方程组 2222 1 2 3 n ab X XXaabb n 解得参数解得参数ba,的矩估计量的矩估计量, a b。 *
