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1、第二章 误差理论与平差原则,1、理解偶然误差的统计规律及测量平差原则 2、熟知测量精度指标、权、协因数等概念 3、掌握误差、权倒数、协因数传播律及其在测量中的应用,第一节 偶然误差的统计规律,1、描述偶然误差分布的三种方法 1）列表法,相同条件下，对测区781个三角形内角进行观测，求出内角和的真误差,第一节 偶然误差的统计规律,1、描述偶然误差分布的三种方法 2）绘图法,第一节 偶然误差的统计规律,1、描述偶然误差分布的三种方法 3）密度函数法,第一节 偶然误差的统计规律,2、偶然误差的分布特性 （1）有界性： 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值，或偶然误差的绝对值大于某个值的
2、概率为零。 （2）聚中性： 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 （3）对称性： 绝对值相等的正负误差出现的概率相等 （4）抵偿性： 偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0,第一节 偶然误差的统计规律,3、由偶然误差特性引出的两个测量依据 制定测量限差的依据 依据偶然误差的有界性，在实际工作中可根据观测条件确定一个误差限值，若观测值的误差绝对值小于该限值，认为观测值符合要求，否则应剔除或重测。 判断系统误差（粗差）的依据 依据抵偿性，若误差的理论平均值不为零，且数值较大，说明观测成果中含有系统误差和粗差。,第二节 衡量精度的指标,1、精度 定义： 误差分布的密集或离散的
3、程度。 若两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精度都相同。 在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精度观测值。,第二节 衡量精度的指标,1、精度,精确,准确,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 1）方差 设有一组同精度的独立观测值，其相应的一组真误差为1、2、 n ，则独立误差平方的平均值的极限为该组观测值的方差。 2）中误差 方差的算术平方根（统计学称为标准差），恒为正。,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标
4、上述公式都是在 情况下定义的，实际工作中，观测次数不能无限多，一般只能得到方差和中误差的估计值：,第二节 衡量精度的指标,例题 某测区的16个三角形内角和的误差如下，试求三角形内角和中误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 设有一列等精度观测值的真误差为：+0.22，-0.42，+0.12，-0.32，+0.65，+0.81，-0.45，-0.67，-0.74，+0.90。试求其中误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 为了鉴定经纬仪的精度，对已知的水平角 ( = 450000)作了12次观测，其结果为： 45 00 06 , 44 59 55 , 44 59 58 , 45 00 04 , 45
5、 00 03 45 00 04 , 45 00 00 , 44 59 58 , 44 59 59 , 44 59 59 45 00 06， 45 00 03 假设无误差，试求观测值的中误差。,第二节 衡量精度的指标,观测值方差的估算方法 1）当真值或理论值已知时 2）当真值未知时,第二节 衡量精度的指标,练习 在测站D上用经纬仪分别观测了三个方向A、B、C，得10个测回的方向观测读数a、b、c，试估算各个方向观测值的方差。,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 3）极限误差 绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三
6、倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。 观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，称为极限误差。若对观测要求较严，也可规定两倍中误差为极限误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m 15mm，试估计这个观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？求出该观测值的相对中误差。,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 4）相对误差 观测值的误差与观测值之比，称为相对误差 相对误差是衡量单位长度的精度，是个无名数，在测量中经常将分子化为1，分母化为整数N，即用 表示。 一般来说，当观测误差随着观测量的大小
7、而变化时，用相对误差来描述其精度。 相对真误差、相对中误差、相对极限误差 为了与相对误差区别，真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 已知S1=300.445m4.5cm, S2=660.844m4.5cm，试说明：它们的真误差是否相等？它们的最大误差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对误差是否相等？,第三节 观测向量的精度,1、观测量间的协方差 当观测量之间不再误差独立时,观测量Li和Lj之间的误差相关,描述这种相关程度的指标是协方差 ,表示观测值Li和Lj不相关,即相互独立 ,表示观测值Li和Lj相关,不相互独立,第三节 观测向量的精度,协方差的估算 1
8、）当真值已知时 2）当真值未知时,第三节 观测向量的精度,练习 试估算三个方向观测值a、b、c之间的协方差。,第三节 观测向量的精度,2、观测向量的方差阵 观测向量： 若观测值有L1、L2、 Ln个，可将它们表示成一个向量L=（ L1,L2, Ln）T 方差阵DLL 观测向量的精度一般用方差矩阵DLL表示 DLL中既有各个观测向量的方差，表示其 精度，也有观测量之间的协方差，表示 观测值之间的误差相关关系。,第三节 观测向量的精度,2、观测向量的方差阵 主对角线上的元素为相应观测值的方差，其余元素为两个观测值的协方差 如果观测向量相互均不相关，则所有非对角线元素为零,第三节 观测向量的精度,练
9、习,第三节 观测向量的精度,练习,第四节 误差传播律,实际工作中，往往会遇到某些量的大小不是直接测定，而是由观测值通过一定的函数关系计算出来的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。 观测值函数的中误差与观测值的中误差之间，存在着怎样的关系？ 中误差可由相应的方差开方得到，所以可通过方差和协方差的运算规律来导出。,第四节 误差传播律,1、线性函数 若观测值间独立，则函数的方差为: 若观测值间不独立，则函数的方差为：,第四节 误差传播律,1、线性函数,第四节 误差传播律,1、线性函数,第四节 误差传播律,1、线性函数 倍乘函数 和（差）函数,1、观测量独立时？ 2、n个独立观测量？ 3、各观测值精度
10、相同时？,第四节 误差传播律,练习 在1：500的图上，量得某两点的距离d=20.5mm，d的量测中误差 ,求该两点实地距离S及其中误差。,第四节 误差传播律,例题 如图所示,观测了、三个角度,已知其中误差分别为12、24 、24 ，求角度的中误差。,第四节 误差传播律,例题 用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及其相应的中误差如下，试求该距离S的中误差及相对中误差。 S1=50.350m1.5mm S2=150.555m2.5mm S3=100.650m2.0mm S4=100.450m2.0mm S5=50.455m1.5mm,第四节 误差传播律,例题 同精度观测三角形的三个内角L1、L2
11、、L3，其相应中误差为，且观测值之间相互独立。试求：三角形闭合差的中误差；将闭合差平均分配后角A的中误差。,第四节 误差传播律,练习 导线的转折角的中误差为 求方位角 的中误差。,第四节 误差传播律,练习 随机向量L的协方差阵为： 求 的方差。,第四节 误差传播律,练习,第四节 误差传播律,2、一般函数,第四节 误差传播律,例题 已知长方形的厂房，经过测量，其长x的观测值为90m，宽y观测值为50m，中误差分别为2mm、3mm，求其面积及相应的中误差。,第四节 误差传播律,练习 已知观测值L1、L2的中误差1=2=，12=0，设X=2 L1 +5, Y= L1 -2 L2, Z= L1 L2,
12、 t=X+Y，试求X、Y、Z和t的中误差。,第四节 误差传播律,练习 设有观测值向量L=L1 L2 L3T，其协方差阵为 试分别求下列函数的方差： F1=L1-3L3； F2=3L2L3,第四节 误差传播律,练习 由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角，借以计算P点的坐标。观测值及中误差为S=127.00m0.03m, =30002.5,设A点坐标无误差，试求待定点P的点位中误差P。,第四节 误差传播律,第四节 误差传播律,练习 设测得导线边长 ， 坐标方位角 ，试求纵横坐标增量 的中误差。,第四节 误差传播律,多个观测向量线性函数的方差阵 若观测向量的多个线性函数为： 于是，观测向量的多个线性
13、函数可写为Z=KX+K0 方差为：,第四节 误差传播律,多个观测向量线性函数的方差阵 若还有观测向量的另外r个线性函数：,第四节 误差传播律,练习 设有观测值向量L=L1 L2 L3T，其协方差阵为 现有函数1=L1L2；2=2L1-L3，试求函数的方差D1 、D2和互协方差D1 2,第五节 误差传播律在测量中的应用,1、水准测量的精度 设经过n个测站测定A、B两水准点间的高差，且第i站的观测高差为hi，则A、B两点的总高差hAB为： hAB= h1+ h2+ .+hn 设各测站观测高差的精度相同，其中误差为站，则：,第五节 误差传播律在测量中的应用,1、水准测量的精度 若水准路线布设在平坦地
14、区，则各测站的距离s大致相等，令A、B两点间的距离为S，测站数 ，则 如果S及s均以公里为单位，则 表示单位距离(1km)的测站数， 就是单位距离观测高差的中误差。,第五节 误差传播律在测量中的应用,1、水准测量的精度 当各测站高差的观测精度相同时，水准测量中高差的中误差与测站数的平方根成正比 当各测站的距离大致相等时，水准测量中高差的中误差与距离的平方根成正比,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设多少站？,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 在已知水准点A、B(其高程无误差)间布
15、设水准路线，路线长为S1=2km，S2=6km，S3=4km，设每公里高差中误差=1.0mm，试求： (1)将闭合差按距离分配之后P1、P2两点间高差中误差 (2)分配闭合差后P1点高程的中误差。,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线,已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C高程中误差不大于10mm,问该线路长度最多可达几千米?,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习,第五节 误差传播律在测量中的应用,2、导线边方位角的精度 当支导线以同样的精度测得n个转
16、折角(左角)1、2、 、n，它们的中误差均为。第n条导线边的坐标方位角为：,第五节 误差传播律在测量中的应用,2、导线边方位角的精度 则第n条导线边的坐标方位角的中误差为： 支导线中第n条导线边的坐标方位角的中误差，等于各转折角之中误差的 倍。,第五节 误差传播律在测量中的应用,3、同精度独立观测值的算术平均值的精度 设对某量同精度独立观测n次，其观测值为L1、 L2、Ln、，中误差均为，取n个观测值的算术平均值作为该量的最后结果，即： 由误差传播律，可得算术平均值的中误差为：,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 有一角度测4测回，得中误差0.42，问再增加多少测回其中误差为0.28？,第五节 误差传播律在测量中的应用,4、若干个
