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1、动态规划专题讲义,前言,本文只是个人对动态规划的一些见解,理论性并不一定能保证正确,有不足和缺漏之处请谅解和及时地指出.,动态规划,是信息学竞赛中选手必须熟练掌握的一种算法,他以其多元性广受出题者的喜爱.,动态规划,目录,什么是动态规划 状态 阶段 决策 一种确立状态的方法 两种简单的动规武器 三种特殊的动态规划,什么是动态规划,在学习动态规划之前你一定学过搜索.那么搜索与动态规划有什么关系呢?我们来下面的一个例子.,back,数字三角形,给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条 路,使得所经过的权值之和最小或 者最大.,back
2、,数字三角形,无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=ai, j + minf(i-1, j)+f(i-1, j + 1) 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么简单了。 解决方法：,back,记忆化搜索,记忆化搜索,我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1f2 then f:=f1+ai,j else
3、f:=f2+ai,j; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为2n，明显是会超时的。分析一下搜索的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪费，很显然，我们存放一个opt数组：,back,记忆化搜索,Opti, j - 每产生一个f(i, j)，将f(i, j)的值放入opt中，以后再次调用到f(i, j)的时候，直接从opti, j来取就可以了。 于是动态规划的状态转移方程被直观地表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是非常实用的.,
4、记忆化的功效,back,动态规划的实质,可以看出动态规划的实质就是 这也就是为什么我们常说动态规划必须满足重叠子问题的原因.记忆化,正符合了这个要求.,记忆化搜索,状态 阶段 决策,或许有一种对动态规划的简单称法,叫分阶段决策.其实我认为这个称法并不是很能让人理解.那么下面我们来看看阶段,状态,决策这三者间得关系吧.,back,状态 阶段 决策,状态是表现出动态规划核心思想的一个东西.而分阶段决策这个东西有似乎没有提到状态,这是不科学的. 阶段,有些题目并不一定表现出一定的阶段性.数字三角形的阶段就是每一层.这里我们引入一个概念-以前状态.但阶段不是以前状态,状态是阶段的表现形式.数字三角形的
5、以前状态就是当前层的前一层. 那什么是决策呢?我们看看下面一张图就知道了.,back,决策,当前状态,以前状态,决策,显然,从上图可以看出,当前状态通过决策,回到了以前状态.可见决策其实就是状态之间的桥梁。而以前状态也就决定了当前状态的情况。,数字三角形的决策就是选择相邻的两个以前状态的最优值。,back,动规的要诀状态,我们一般在动规的时候所用到的一些数组，也就是用来存储每个状态的最优值的。 我们就从动态规划的要诀，也就是核心部分“状态”开始，来逐步了解动态规划。,back,拦截导弹,拦截导弹（Noip2002） 某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统 有一
6、个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高 于前一发的高度。 某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以 只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度，计算这套系统最多能拦截多少导弹。,拦截导弹,状态的表示fi，表示当第i个导弹必须选择时，前i个导弹最多能拦截多少。 每个导弹有一定的高度，当前状态就是以第i个导弹为最后一个打的导弹。以前状态就是在这个导弹以前打的那个导弹。 显然这是十分能够体现状态间的联系的题目。,back,最长公共子串,给出两个字符串序列。求出这样的一个最长的公共子串：子串中的每个字符都能在两个原串中找到，
7、而且每个字符的顺序和原串中的顺序一致。,交错匹配,交错匹配（最长公共子串的改编） 给你两排数字,只能将两排中数字相同的两个位置相连,而每次相连必须有两个匹配形成一次交错,交错的连线不能再和别的交错连线有交点.问这两排数字最多能形成多少个交错匹配.,2 3 3 2 4 1 5 1 3 5 10 3 1 2 3 2 4 12 1 5 5 3,状态的表示fi,j表示前i个第一排的数字和前j个第二排的数字搭配的最优值。 当前的状态就是当前你枚举到的一组交错的后面两个位置.例如上图中当前状态是3和1(第一组交错),枚举他的以前状态就有1 3.这样在1 3之前会有一个最优值存在,因此可以由此得到3 1的最
8、优值.,back,买车票,买车票(Ural1031) Ekaterinburg城到Sverdlovsk城有直线形的铁路线。 两城之间还有其他一些停靠站,总站数为N。 各站按照离Ekaterinburg城的距离编号。 Ekaterinburg城编号为1，Sverdlovsk城编号为N。,back,买车票,某两站之间车票价格由这两站的距离X决定. 当0X=L1时，票价为C1元. 当L1X=L2时，票价为C2元. 当L2X=L3时，票价为C3元. 当两站距离大于L3时没有直达票，所以有时候要买几 次票做几次车才行。 比如，在上面的例图中，2-6没有直达票，有几种买票 方法可以从2-6，其中一种是买C
9、2元的2-3车票，再买 C3元的3-6车票。,back,买车票,给定起点站和终点站还有 L1,L2,L3,C1,C2,C3，求出要从 起点到终点最少要花多少钱.,怎么办,确定题目的当前状态与以前状态!,back,买车票,当前状态,以前状态,当前所在的某个车站,这一题的以前状态其实只有3种.即满足3种距离(收费)情况的3个车站.要知道这3个车站可以先做一个预处理.显然这3个车站在满足距离限制的条件下应该越远越好.,back,买车票,预处理 很容易想出一个N2的预处理,但是那样是会超时的.由于尽量要让车站离得远(费用是一样的啊 )因此在每种收费情况下,每个车站的以前状态车站一定是递增的序列.这里是
10、只要O(N)的程序: for j:=1 to 3 do begin k:=en-1; for i:=en downto be do begin while (wayi-wayk=be) do dec(k); pij:=k+1; end; end; 数组Pij表示的是I状态的第j种以前状态.,back,买车票,动态规划的部分 for i:=be+1 to en do 枚举当前状态 begin costi:=maxlongint; for j:=1 to 3 do 枚举以前状态 begin if (piji) and (costi costpij + cj) then costi:=costpij
11、+cj; end; end;,back,动规的要诀状态,有时候当前状态确定后,以前状态就已经确定,则无需枚举.,back,Tom的烦恼,Tom是一个非常有创业精神的人，由于大学学的是汽车制造专业，所以毕业后他用有限的资金开了一家汽车零件加工厂， 专门为汽车制造商制造零件。由于资金有限，他只能先购买一台加工机器。现在他却遇到了麻烦，多家汽车制造商需要他加 工一些不同零件（由于厂家和零件不同，所以给的加工费也不同），而且不同厂家对于不同零件的加工时间要求不同（有些加工时间要求甚至是冲突的，但开始和结束时间相同不算冲突）。Tom当然希望能把所有的零件都加工完，以得到更多的加工费，但当一些零件的加工时
12、间要求有冲突时，在某个时间内他只能选择某种零件加工（因为他只有一台机器），为了赚得尽量多的加工费，Tom不知如何进行取舍。,Tom的烦恼,Tom的烦恼 按结束时间排序，枚举结束时间作为当前状态,以前状态就是该结束时间对应的起始时间，这是已经确定的.,back,文字游戏,文字游戏(fairfox邀请赛1) 给你一份单词表，和一个句子。求出该句子能有多少中不同的划分方法.例如: 单词是ab cd a b c d 句子是abcd 他共有4种完全划分方案: ab/cd a/b/c/d a/b/cd ab/c/d; 当前状态就是单词在句子中向后靠的位置,以前状态就是确定这个单词位置以后,除掉这个单词长度
13、后的一个位置.状态转移方程是:Fi:=Fi+Fi-length(wordj) IOI中有一题前缀也是类似的题目.,决策中的定量,状态转移方程的构造无疑是动态规划过程中最重要的一步,也是最难的一步.对于大多数的动态规划,寻找状态转移方程有一条十分高效的通道,就是寻找变化中的不变量.定量处理的过程也就是决策实施的过程.,寻找定量,back,寻找定量,最佳加法表达式 有一个由19组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中.使得所形成的算术表达式的值最小.,Problem,或许你不明白我在说什么,那么我们通过题目来说明吧,back,最佳加法表达式,这一题中的定量是什么呢?因为是添入加号,那么添完
14、加号后,表达式的最后一定是个数字串,这就是定量.从这里入手,不难发现可以把以前状态认为是在前i个字符中插入k-1个加号(这里的i是当作决策在枚举),然后i+1到最后一位一定是整个没有被分割的数字串,第k个加号就添在i与i+1个数字之间.这样就构造出了整个数字串的最优解.而至于前i个字符中插入k-1个加号,这又回到了原问题的形式,也就是回到了以前状态,所以状态转移方程就能很快的构造出来了.,back,最佳加法表达式,用fi,j,表示的是在前i个字符中插入j个加号能达到的最小值,最后的答案也就是Flength(s),m. 于是就有一个动规的方程: Fi,j:=min(fi,j,fk,j-1+num
15、k+1,i) numk+1,i表示k+1位到i位所形成的数字.这里显然是把加号插入了第k+1个位置上. 知道了这一题怎么做以后,乘积最大的一题也是完全一样的形式,谁还会去用搜索?,back,定量,现在大概大家已经了解了定量是什么,那么我们下面通过几道题目来了解一下定量的威力.,back,游戏,游戏(Noip2003普及组) 这一题的描述简单说一下:在一个圈的周围有n个石子,将他们划分成m堆(每堆中的石子必须连续相邻),每一堆石子计算出他们的总重量mod10的值,然后将这些值相乘,求得到的结果最大最小值是多少.,back,游戏,这一题作者其实是根据最佳加法表达式改编的.但是他加了一个在圈上的条件
16、,怎么办呢?,寻找定量!,back,游戏,可想而知,因为至少要分成1堆,那么至少有两个石子之间是会被分隔开的.这就是定量!当划分数1时,一定有两个相邻石子被划分到不同的堆里去! 于是这个圈被这样的理解断成了一条线,解法就和最佳加法表达式一样了. 当然这个断开的位置是需要枚举的,然后保留下一个最优值.显然这个断开的操作对整个过程没有影响,因为这是必然的情况,这是定量!,back,最优三角形划分,问题描述 给定一具有N（N50）个顶点(从1到N编号）的凸多边形，每个顶点的权均已知。问如何把这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？,back,最优三角形划分,这一题大概搜都是十分麻烦的,可是这一题Dp的话,比搜索要容易实现和容易理解得多. 先得表示一下状态,我们用fi,j表示
