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1、第二节 函数求导法则,直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则, 就能比较方便地求出初等函数的导数.,一、函数和、差、积、商的求导法则,二、反函数求导法则,三、复合函数的求导法则,四、初等函数的导数,一、函数和、差、积、商的求导法则,定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处可导, 那么 它们的和、差、积、商在x 处也可导, u (x) v (x) 在点 x 处也具有导数, 且,（2）u (x) v (x) = u (x) v (x) + u (x) v (x),（1）u (x) v (x) = u (x)
2、v (x)；,（3）,【v (x) 0】,证（3）,取得增量 u, v, 函数,也取得增量,除法求导法则可简单地表示为,当 x 取增量 x 时, 函数 u (x), v (x) 分别,乘积求导法则可简单地表示为 (uv) = uv + uv.,推论1 设 u (x) 在点 x 处可导, C 为常数, 则 (Cu) = Cu.,推论2 设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在点 x 处均可导, 则 (uvw) = uvw + uvw + uvw.,例1 y = x 4 + sinx ln3, 求 y .,解 y = (x 4) + (sinx) + (ln3),=
3、4x 3 + cosx .,= e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx.,例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y.,解 y = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx),例3,例4 y = 2sinxcosxlnx, 求 y.,例5 y = tanx, 求 y.,即 (tanx) = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式.,类似地可求余切函数的求导公式 (cotx) = csc 2x.,例6 y = secx, 求 y.,即 (secx) = secxtanx. 这就是正割函数的
4、求导公式.,类似地可求余割函数的求导公式 (cscx) = cscxcotx.,二、反函数的求导公式,定理2 设函数 在区间 I y 上单调、可导, 且 , 则它的反函数 y = f (x) 在对应区间 I x 上也单调、可导, 且,简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.,任取 x I x , 给 x 以增量, 由 y = f (x) 的,因为 y = f (x)连续, 故,，从而,单调性可知 y = f (x + x) - f (x) 0, 于是,证,又,例7. 求函数,解:,则,类似可求得, 则,的导数.,为函数,类似可求得,解：,的反函数。,例8. 求函数,的导数。,
5、解：,则,例9. 求函数,的导数。,小结:,三、复合函数的求导法则,定理3 设函数 u = g (x) 在点 x 处可导, 函数 y = f (u) 在点 u = g (x) 处可导, 则复合函数 y = f (g(x)在点 x 处可导, 且其导数为,设 x 取增量 x, 则 u 取得相应的增量 u,因为 u = g (x) 可导, 则必连续, 所以 x 0 时,当 u = 0时, 可以证明上述公式仍然成立.,从而 y 取得相应的增量 y , 即 u = g(x + x) g(x),y = f (u + u) f (u).,u 0, 因此,当 u 0时, 有,证,中间变量的导数乘以中间变量对自
6、身变量的导数. 设 y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可导函数, 则复合函数 y = f (g(h(x) 对 x 的导数为,公式表明,复合函数的导数等于复合函数对,例10 y = lnsinx, 求 y.,解 设 y = lnu, u = sinx, 则,例11,解 设,熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接写出结果.,例12,例13,例14 y = lncos(e x), 求 y.,例15,例16 设 x 0, 证明幂函数的导数公式 (x ) =x -1.,证,解：,例17 设,解： 设,例18 设,其中函数,可导，求,四、初等函数的导数,1. 基本导数
7、公式,(1) (C) = 0; (2) (x ) = x -1; (3) (sinx) = cosx; (4) (cosx) = sinx; (5) (tanx) = sec2x; (6) (cotx) = - csc2x; (7) (secx) = secx tanx; (8) (cscx) = - cscxcotx; (9) (e x) = e x; (10) (a x) = a x lna;,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,设 u = u(x), v = v(x) 均可导, 则 (1) (u v) = u v; (2) (uv) = uv + uv; (3) (Cu) = Cu;,3. 复合函数的求导法则,设 y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可导, 则复合函数 y = f (g(x)的导数为,例19 求函数,解,的导数.,例20 求函数,解,的导数.,
