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1、第三节 函数的连续性 （continuity of functions）,目的与要求 理解函数在一点连续(continuity at a point)的概念，了解函数区间上连续(continuity on an interval)的概念 会判别函数间断点的类型 了解初等函数连续性，了解闭区间上连续函 数性质:介值定理(intermediate value theorem)、零点定理、最值定理,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说
2、函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例3,解,2.可去间断点,例4,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例4中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例5,解,判断下列间断点类型:,例7,解,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.间断点的分类与判别;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,三、初等函数的连续性,四则运算的连续性 复合函数的
3、连续性 初等函数的连续性,1、四则运算的连续性,定理1,例如,定理,2、复合函数的连续性,例1,解,同理可得,3、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理 基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内是连续的,(均在其定义域内连续 ),例2,例3,解,解,四、闭区间上连续函数的性质,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,几何解释:,例4,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,
