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1、向量及向量的加法运算,工作单位: 河北省科技工程学校所属专业: 汽车工程学科 授课教师: 梁秀华,一、向量的概念和向量的几何表示,观察下列日常现象,某汽车从A地沿西北方向行进400公里到达B地,位移为S,mg=5N,放在斜面静止的物体A受力情况:(1)方向沿斜面向上的摩擦力 f=1N;(2)方向竖直向下重力mg=5N,.,下一页,f=1N,(1)向量的定义 在日常生活中,我们遇到的这些既有大小又有方向的量叫向量。（或矢量）（vector)。例：力、速度、加速度、位移等。,总结：1 数量与向量的区别： 向量有方向和大小双重性，不能比较大小。标量只有大小，能进行代数运算。 2 每个向量都有自己固定
2、的方向和大小。它只于起点和终点有关系。,思考,思考,思考,思考,思考,下一页,【思考1】一只老鼠由A向西北逃窜，猫在A处向东追去，因为猫的速度比老鼠快，所以猫能追到老鼠？ 【思考2 】质量、温度、电量这些物理量是向量吗?为什么？ 【思考3 】：某同学绕圆形操场跑了半圈，请问他的位移是不是这个半圆弧？,1结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.,2结论: 不是。因为它们不用方向只用大小就可描述清楚，如温度零上15度。相对于向量来讲，我们把这些量称为标量（scalar)。,3结论：不是。在这个过程中，他跑的方向在时刻发生变化，故位移时刻在发生变化，他最后的位移只于起点和终点有关系，即从出发点开始的
3、圆的半径。,上一页,（2）向量的表示：,向量几何表示：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示向量，线段的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。例下图，向量a可以用 来表示。 向量的书写：习惯上，手写时在字母上方加一箭头代表矢量，如a。印刷时通常用黑体的小写字母a,b,c来记向量。,（3）有关向量的定义 向量的模：向量的大小称为向量的模，如上图向量a的模，记为|a|或| | 相等向量: 具有相同长度和相同方向的两个向量叫做相等向量。 【练习】如图1-2的图形中，观察与向量 相等的向量。,零向量：模等于零的向量称为零向量，记为0或 。注意零矢量的方向是任意的。 单位向量：若一个向量的长
4、度为1单位，则该向量称为单位向量。 【思考】1单位是多少？有几个单位向量？单位向量是否都相等？ 负向量：与非零向量a长度相等且方向相反的向量称为a的负向量（或a的反向量），记作-a。 规定： 0的负向量为0。 因为向量 的长度相等且方向相反，所以 共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。如图1-3所示，记作abc,任一组平行向量用同一个起点的有向线段表示后，都在同一条直线上，这样的一组向量称为是共线的，否则称为不共线的。 注意：显然，零向量与任一向量共线。,B,A,a,b,c,O,A,C,B,图1-2,图1-3,答案,提示:相等向量只与大小和方向有关,与起点无关,故平面内与一向量相等的
5、向量有无数个.,练习,【练习】如图1-4，在平行四边形ABCD中，找出与向量 共线的非零向量。,A,B,C,D,解：与向量 共线的非零向量有,下一页,二、 平面向量的加法运算,数能进行运算，有了运算而使数的作用得以充分展现。与数的运算类比，向量能否进行运算呢？,思考1：1某人从A到B，再从B按原方向到C，两次的位移和：,A,B,C,2若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：,A,C,B,下一页,返运算规律,位移的合成,上海,台北,香港,上海,香港,台北,上海,答案：位移c(台北上海)。即,A,B,C,思考2：1、如图示，从台北乘飞机到上海，要先从台北飞到香港，再从香港飞到上海，
6、则飞机的位移是多少?,下一页,2船速为 ，水速为 ，则两速度和：,A,B,C,以上这些实例都是向量合成在生活中的具体应用，大家不难发现，向量的合成注重的是“实际结果”。,（）向量的加法运算,求两个向量和的运算叫做向量的加法.加的结果仍是向量。,1共线向量的加法,由思考1中两个例子可以知道，两个共线向量相加，若同向，和向量的方向不变，大小等于向量长度的和；若反向，和向量方向指向长度较长的向量，长度等于二者差的绝对值。,图示回忆,下一页,上述关于向量加法的定义称为向量加法的三角形法则。,A,O,2不共线向量的加法,不共线向量的三角形法则,练习,（1）在平面内任取一点O,o,位移的合成可以看作向量加
7、法 三角形法则的物理模型。,还有没有其他的做法？,【练习2】,作法,总结,【练习1】,强调： 1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点。 2可以推广到n个向量连加 3 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则,下一页,【探索】已知向量 、 ，求作向量 + 。 作法：在平面内取一点，作 ， 则,a,b,O,A,B,C,a,a,b,b,也可先做,由此考虑，既然a+b=b+a，那么，向量加法可能满足交换律吗？再者，显然 ，这又是向量加法的什么计算法则呢？,平行四边形法则,B,a,b,B,a,a,b,B,a,a,b,B,a,（1）在平面内任取一点O,以同起点O为起点的两个已知向
8、量 相加，则可以分别以两个向量为邻边作 OACB，则以为起点的平行四边形的对角线OC就是 的和,（）向量加法的平行四边形法则,B,O,C,A,【练习2】,o,作法,知识链接,【练习1】在平行四边形ABCD中，,知识链接,物理学习中有这样的实验，如图2.2-2表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿着的方向伸长了O；图2.2-3表示撤去F1和F2，用一个力作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度。,结论：显然，力F对橡皮条产生的效果,与力F1与F2共同产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.,将以上各个矢量作图,可以发现图2.2-4规律,即力F在以力F1、F2为邻边的平行
9、四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形的对角线的长。 也就是说,F1与F2的合力等于,力 的 合 成,下一页,想一想,向量的平行四边形法则与力的合成有相似之处吗?,A,(F1),(F2),合力F,力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型。,F1+F2=F,综合练习,例1 如图7.2-7,已知向量a、b，分别用三角形法则和平行四边形法则求作向量a + b.,a,b,图2.2-7,o,A,B,C,课堂作业,.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则作出a + b. (1) (2),a,b,a,b,a + b,(3),b,a,a,b,(4),a,b,a + b,课堂练习,2. 已知a、
10、b，用向量加法的平行四边形法则作出a + b. （1） (2),a,b,a,b,A,a,b,a,b,下一页,探索：数的加法满足交换律与结合律.那么对于任意的向量加法,是否也满足交换律与结合律？,观察下图:,A,C,B,a,a,b,b,D,a+b,b+c, a +b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),交换律,例2 一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东km/h,解：（1）如图示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作 ABCD，则AC表示船实际航行的速度。,A,B,C,D,（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）。,下一页,5,2,总结,小结与回顾,首尾相连的两向量相加,A,B,C,起点重合的两向量相加,A,B,D,C,1、向量的定义,2、向量加法的三角形法则,3、向量加法的平行四边形法则,4、向量加法的交换律和结合律,下一页,作业：,课本P10 A组 1、2、3、,谢谢大家,再见!,返回首页,
